MPSI B DS 6 24 avril 2020
Exercice
Former un polynôme de degré 3 dont les racinesx,y,z vérient le systéme d'équations
suivant :
x+y+z = 2 x2+y2+z2 = 6
1
x+1y+1z = 12
Problème I.
Dans tout le problème,n∈N∗ est xé etE=Rn[X]. On dénit la fonctionf dansEpar :
∀U ∈E, f(U) =XU−1
n(X2−1)U0 oùU0 désigne la dérivée deU.
Pour tous B∈E et λ∈R, on dit queB est un polynôme propre de valeur propre λsi et seulement si
B6= 0E etf(B) =λB.
1. a. Vérier quef est linéaire. Calculerf(Xi)pouri∈J0, nK.
b. Montrer quef est à valeurs dansE.
2. SoitB un polynôme propre de valeur propreλ. Montrer queB est de degré n. 3. SoitBun polynôme propre de valeur propre1. Montrer que−1est racine deB. Quelle
est sa multiplicité ?
4. Étudier de même le cas oùB est un polynôme propre de valeur propre−1.
5. On suppose ici queB est un polynôme propre de valeur propre λ /∈ {−1,1}. Montrer que−1 et1 sont racines deB. On notek+ la multiplicité de1et k− celle de−1. On pose
B= (X−1)k+(X+ 1)k−AavecA∈E.
Montrer quek++k−=n. Exprimerλen fonction dek+ et n.
6. Montrer qu'il existe une base deE formée de polynômes propres pourf.
Problème II.
Partie I
Soita6= 1un réel xé, on considère l'ensembleS des suites réelles (wn)n∈Nvériant :
∀n∈N, wn+2= (2−a)wn+1+ (a−1)wn
On rappelle queS est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel surR des suites réelles.
1. Déterminer, suivant les valeurs deaune base deS.
2. Soitwun élément deS. Suivant les valeurs dea, exprimerwn pourn∈Nen fonction dew0 et w1.
Partie II
SoitV unRespace vectoriel de dimension 3 et B= (u, v, w)une base de V. Les endo- morphismesf et gdeV sont dénis par les relations suivantes :
f(u) = 0V, f(v) =u−v, f(w) = 0V
g(u) = 0V, g(v) = 0V, g(w) =u−w
On pose aussiE ={ha,b,(a, b) ∈(R− {1})2} avec, pour aet b réels diérents de 1,ha,b déni par
ha,b= IdV +af+bg
1. Montrer que(E,◦)est un sous-groupe commutatif du groupe(GL(V),◦)des automor- phismes deV.
2. Résoudre dansE les équations suivantes
(1) : ha,b◦ha,b =ha,b, (2) : ha,b◦ha,b= IdV
Partie III
On utilise les notations des parties I et II. Soitaun réel,a6= 1etM =ha,a. 1. Montrer queM2 est combinaison linéaire deM et IdV.
2. Établir l'existence de deux suites réelles(αn)n∈Net (βn)n∈N telles que :
∀n∈N: Mn=αnM+βnIdV avec
αn+1 = xαn+yβn βn+1 = x0αn+y0βn
etx,y,x0,y0 étant des réels à déterminer.
3. Vérier queα∈ S. En déduire l'expression deαn puis celle deβn en fonction den.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai S0506E
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Partie IV
SoitA=h2,2. On désigne parF le sous-espace vectoriel engendré par AetIdV. 1. (F,+,◦)est-il un sous-anneau de(L(V),+,◦)?
2. Existe-t-il dansF des éléments non nuls dont le produit (◦) soit nul ? 3. Quels sont les éléments deF dont le produit (◦) estIdV ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai S0506E
