A 337 Antoine Verroken
Q1. 1. n = p1^a1 * p2^a2 * … phi(n) = n * ( 1 – 1/p1 )*( 1 – 1/p2 ) * … (1) 2016 = 2^5 * 3^2 * 7 phi(2016) = 2016*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/7) = 576
phi(576)= 192
*
*
phi(2) = 1
et r(2016) = 9 2. n > 2016 et r(n) = 11
on trouve n = 2023 et phi(2) = 1 Q2. 1. (1) avec n > 2 , phi(n) est un nombre pair
2. Sierpinsky a prouvé que phi(n) =< n - sqrt(n) phi.k (n) < phi.k-1 (n) phi.k (n) = 2 existe.
3. r(n1) = 10 n1 = 641
r(n2) = 17 n2 = 87041
Q3. Subbayya Pillai a prouvé (Amer. Math. Month. (35) 1929 p. 837-841 ) que le plus grand entier n tel que r(n) = k est donné par
n = 2 * 3^(k-1)
partant de ln(n/2) / ln(3) + 1 =< k =< ln(n) / ln(2) + 1 ln(n/2) / ln(3) =< k - 1 =< ln(n) / ln(2 ln(n) =< ( k – 1 ) * ln(3 + ln(2) il obtient n =< 2 * 3^( k – 1 )
k = 12 n = 354.294
