ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 3h 27 mai 2015
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Qu'est-ce qu'une application linéaire f :E −→F ? 2. Donner la dénition de l'espérance d'une v.a. X. 3. Enoncer la formule de Huygens.
Exercice I.
On considère la famille de vecteurs de R3 : u=
−3 2 5
, v =
−2
−2 3
, et w=
1
−4
−2
1. Quelle est la dimension de R3? En donner la base canonique.
2. La famille de vecteurs (u, v, w) est-elle libre ou liée ? Justier.
3. Déterminer le sous-espace vectoriel F qu'elle engendre, et en particulier une base (f1, f2) de celui-ci.
4. Quelle est la dimension de F? Justier brièvement.
5. Le vecteur t=
−2
−12 2
appartient-il à F ?
Si oui, donner les coordonnées de t dans la base (f1, f2).
Exercice II.
On considère l'application f :R3 −→R3 dénie par f
x y z
=
3x+z
−2x+ 5y−4z
−3y+ 2z
. 1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Déterminer Ker(f).
3. f est-elle un automorphisme de R3? 4. Déterminer Im(f).
5. Créer un programme Scilab qui demandex, yetz à l'utilisateur, et renvoie la matrice f
x y z
.
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Exercice III.
ECRICOMEPartie I. Un jeu en ligne.
Une société met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d'écran ache une grille à trois lignes et trois colonnes.
Après une mise initiale de 1 e du joueur, une fonction aléatoire place au hasard trois étoiles (F) dans trois cases diérentes. La partie est gagnée si les trois étoiles sont alignées (horizontalement, verticalement ou en diagonale).
A B C
1 F
2 F
3 F
Si le joueur gagne, il empoche10 fois sa mise, ce qui lui rapporte au nal 9e à l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur.
On a le tableau suivant représentant le bilan du joueur et de la société à l'issue d'une partie : bilan pour le joueur pour la société
étoiles alignées +9 e −9 e
étoiles non alignées −1 e +1 e
On dénit les évènementsH, V, D, N par :
H ="les trois étoiles sont alignées horizontalement".
V ="les trois étoiles sont alignées verticalement".
D="les trois étoiles sont alignées en diagonale".
N ="les trois étoiles ne sont pas alignées".
On admet également que si les v.a. X1, X2, ... , Xn sont indépendantes, alors V(X1+...+Xn) = V(X1) +...+V(Xn).
1. Justier qu'il y a 84positionnements possibles des trois étoiles dans trois des neufs cases.
2. Déterminer les probabilités P(H),P(V) etP(D). 3. En déduire que P(N) = 19
21.
4. La société peut s'attendre à ce que 10 000parties soient jouées par jour.
Pourk ∈N∗, on note Zk le gain de la société à la ke partie. On noteZ le gain journalier de la société.
a. Calculer l'espérance mathématique E(Z1). A qui le jeu est-il protable ? b. Calculer V(Z1)et σ(Z1).
c. En déduire E(Z) et σ(Z).
2
Partie II. Cas de joueurs invétérés.
1. Un Joueur décide de jouer 100 parties consécutives que l'on suppose indépendantes.
a. Donner la loi de la variable aléatoire X égale au nombre de parties gagnées.
b. Indiquer, sans calcul,E(X) etV(X).
c. Exprimer la perte T du joueur en fonction de X.
2. Un autre joueur décide de jouer et de miser tant qu'une partie n'est pas gagnée.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées jusqu'à la première victoire.
a. Donner la loi de la variable aléatoire Y. b. Indiquer, sans calcul,E(Y) etV(Y).
c. Pour tout entier naturel non nul n, montrer que la probabilité pn que le joueur joue au plus n parties avant de gagner pour la première fois, est donnée par pn = 1−
19 21
n
. Partie III. Contrôle de la qualité du jeu.
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée.
Dans ce cas, elle place la première étoile dans la case(A,1), les deux autres étant placées au hasard dans les cases restantes.
On considère l'évènement E = "la fonction aléatoire est déréglée", et on pose x = P(E), avec x∈]0,1[.
1. Calculer les probabilités conditionnelles PE(H),PE(V) etPE(D).
2. Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d'évènement (E, E) pour en déduire que la probabilité que les étoiles ne soient pas alignées est P(N) =− x
84+ 19 21. 3. SoitG(x)la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d'une partie jouée.
Déterminer la valeur maximale de xpour que l'espérance de gain soit positive.
3
