M ´ECANIQUE DES MILIEUX D ´EFORMABLES EXAMEN Lundi 10 juin, 16–19 h Calculettes et bon sens rigoureusement autoris´es

Paris 7 PH314

–

M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES

EXAMEN Lundi 10 juin, 16–19 h

Calculettes et bon sens rigoureusement autoris´es

Avertissement

Attention, les questions frapp´ees d’un * ne sont ni n´ecessaires ni suffisantes pour obtenir la moyenne.

Alors, ne perdez pas de temps dessus. Elles sont, pour certaines, plus subtiles (sans ˆetre n´ecessairement compliqu´ees) ou, pour d’autres, un peu plus compliqu´ees (mais pas n´ecessairement plus subtiles). Le reste, qui est simple transposition des travaux dirig´es, est par contre n´ecessaire et suffisant pour vous assurer la moyenne.

Quelques informations du domaine public Viscosit´e de l’eau normale :η ≈10⁻³kg m⁻¹s⁻¹

Equation de Navier-Stokes en ´ecoulement incompressible :´ ∂_tv+ (v· ∇∇∇)v=−1

ρ∇∇∇p+g+ν∆v Op´erateur laplacien en coordonn´ees cylindriques : ∆ = 1

r

∂

∂rr ∂

∂r + 1 r²

∂²

∂θ² + ∂²

∂z²

1

1. Rappelez les expressions g´en´erales des d´eformations principales en termes des contraintes principales dans un milieu ´elastique caract´eris´e par son module de YoungE et son coefficient de Poissonν.

2. Un parall´el´epip`ede allong´e et fin en mat´eriau ´elastique (module de Young E, coefficient de Pois- son ν) est dispos´e entre deux parois rigides et soumis `a une force axiale que l’on suppose r´epartie uniform´ement.

Donnez les valeurs des contraintes et d´eformations principales impos´ees par les conditions `a la surface du parall´el´epip`ede.

3. En d´eduire les expressions des allongements (relatifs) dans les directions ˆx et ˆz, et les ´elongations correspondantes.

2 M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7

2

1. Un liquide s’´ecoule `a travers l’´etranglement (Venturi) repr´esent´e ci-contre. Estimez la vitessevAdans la con- duite amont en fonction de la pressionpAen amont, de la pression p_B dans l’´etranglement, et des sectionsS_A et S_B.

2. Pour mesurer le d´ebit dans une conduite d’eau on utilise le dispositif ci-contre : un ´etranglement, une prise de pression statique C en amont de l’´etrangle- ment, et une prise de pression statique D au niveau de l’´etranglement. Les diam`etre de la conduite amont et de l’´etranglement valent respectivement D_C= 1 m et D_D= 0,8 m.

i) Estimez la vitesseV_C de l’´ecoulement dans la con- duite.

ii) Estimez le d´ebit de la conduite.

*iii) Pouvez-vous ´evaluer un crit`ere vous permettant de justifier la validit´e de votre estimation ?

3

1. Etablissez, par la m´ethode que vous pr´ef´erez (pourquoi pas la plus courte ?), l’expression du´ profil des vitesses de l’´ecoulement dans une conduite cylindrique en r´egime de Poiseuille.

2. En d´eduire l’expression du d´ebit de la conduite.

3. Une canalisation (diam`etre 10 cm) de p´etrole brut (masse volumique 0,92×10³kg m⁻³, viscosit´e 0,12 kg m⁻¹s⁻¹) d´ebite 15 l s⁻¹.

i) Calculez la diff´erence des pressions “all´eg´ees” ˜p_B−p˜_A dans la canalisation entre un point A et un point B `a 100 m en aval de A.

ii) La canalisation est en pente descendante. Cal- culez la diff´erence des pressions indiqu´ees par les manom`etres en A et B.

*iii) Pouvez-vous garantir, et pourquoi, que l’on a bien affaire ici `a un ´ecoulement en r´egime de Poiseuille ?

M´ecanique des Milieux D´eformables, PH314 Paris 7 3

4

Un barrage est constitu´e de planches appuy´ees sur une s´erie de montants enfonc´es dans le sol. Les montants sont r´eguli`erement espac´es de 2,4 m et la hauteur d’eau est de 1,8m.

Repr´esentez les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fl´echissant dans un montant.

5

Pendant que le liquide contenu dans le grand r´eservoir repr´esent´e ci-contre s’´ecoule par un petit orifice, on observe que des bulles d’air s’´echappent par l’extr´emit´e inf´erieure du tube de communi- cation avec l’atmosph`ere.

1. Estimez la pression du liquide au niveau de l’extr´emit´e inf´erieure du tube de communication.

2. Estimez la pression de l’air au dessus du liquide dans le r´eservoir.

3. D´eterminez les niveaux du liquide dans les tubes A et B.

4. Estimez la vitesse d’´ecoulement du liquide `a travers l’orifice.

5. Quel peut ˆetre l’int´erˆet de tout ce dispositif (outre celui, douteux, de fournir un sujet d’examen) ? Que pouvez-vous dire du d´ebit du liquide `a travers l’orifice ?