Calculer l’int´egrale curviligneR ΓV ·drle long de l’arc de l’h´elice x= cosθ, y= sinθ,z =θ, qui va du pointθ = 0 au pointθ =π/2

LM256 Examen - janvier 2011 2h, documents et calculatrices interdits. Le soin apport´e `a la r´edaction sera un ´el´ement important de la notation.

Question de cours. Enoncer le th´eor`eme de Fubini d’int´egration d’une fonction d´efinie sur un rectangle dans R<sup>2</sup>. Pr´eciser les hypoth`eses sur la fonction. On ne demande pas de le d´emontrer.

Exercice I.

1. Trouver f tel que V =∇f pour

V =

2xtany

(1 +x²)²,−1 + tan²y (1 +x²) ,0

. 2. Calculer l’int´egrale curviligneR

ΓV ·drle long de l’arc de l’h´elice x= cosθ, y= sinθ,z =θ, qui va du pointθ = 0 au pointθ =π/2.

Exercice II.

1. Trouver une parametrisation de la courbe x³+y³−3xy= 0 en supposant quey=tx.

2. Calculer R

Γxdy−ydx, o`u Γ est la boucle d´elimit´ee par la courbex³+y³− 3xy = 0 orient´ee dans le sens direct.

3. Calculer l’aire `a l’interieur de la boucle.

Exercice III. On consid`ere l’ensemble d´efini par D=

(x, y)| |y| ≤ |x|, x²+y² ≤4 1. Tracer un dessin de D.

2. Calculer

Z Z

K

(x²+y²)dxdy.

2. Soit l’ensemble V =

(x, y, z) | (x, y)∈D, 0≤z ≤(x²+y²) . Tracer un dessin deV et calculer son volume.

1

Exercice IV. Soit D le domaine de R³ limit´e par la sph`ere d’´equation x²+y²+z² = 1

avecx≥0, y ≥0, z≥0.

1.Soit S le bord de D. Faire un dessin deS et de D.

2. Calculer le volume de D.

Notons S le bord de D orient´e suivant le vecteur normal ext´erieur. Notons S₁ la partie de S contenue dans la surface x² +y² +z² = 1 et S2 = S \ S1 (le complementaire de S₁ dans S). Soit −→

V le champ de vecteurs de composantes (P, Q, R) = (x³, y³, z³).

3. Calculer le flux de −→

V `a travers S₁. 4. Calculer le flux de −→

V `a travers S2. 5. Calculer le flux de −→

V `a travers S en utilisant la formule d’Ostrogradsky.

6. Calculer l’aire de S₁ et de S₂. 7. Calculer la circulation de −→

V le long de la courbe C, bord de S1, orient´ee dans le sens trigonom´etrique par rapport a l’orientation de S₁ (dont le vecteur normal est vers l’ext´erieur).

Exercice V.Soit D le tetra`edre d´efinit par les sommets (0,0,0),(1,−1,0),(1,1,0),(0,0,1).

1. D´essiner le domaineD.

2. Calculer l’int´egrale Z Z

S

yz dy∧dz+xz dz∧dx+xz dx∧dy

sur la surfaceS d´efinie comme bord de D. On consid`ere la surface orient´ee avec la normale vers l’exterieur de la surface.

2