T8 DS 7 : Fonctions ln et int´egrale 23 mars 2018 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Nom et pr´enom :
Exercice 1 : Exercices classiques sur ln (15 minutes) (3 points)
1. D´eterminer lim
x→+∞(ln(x)−x).
2. D´eterminer le plus petit entierntel que 0,5n <0,001 3. R´esoudre l’in´equation ex+2−3>0
4. Simplifier ln(7)−ln(2) + ln(5)
Exercice 2 : Vrai ou faux sur l’int´egrale (20 minutes) (3 points)
Les quatre questions de cet exercice sont ind´ependantes.
Pour chaque question, une affirmation est propos´e. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse,en justifiant la r´eponse.
1. Soient les fonctionsf et F d´efinies sur ]0; +∞[ par :
f(x) = x+ 1
x2+ 2x et F(x) = 1 +ln(x2+ 2x)
2x .
La fonctionF est une primitive sur ]0; +∞[ de la fonctionf. 2.
Z ln 3
0
ex
ex+ 2dx= ln3 5.
3. Sur le graphique ci-contre, on a trac´e les courbes repr´esentatives des fonctions f etg d´efinies surRparf(x) =xet g(x) = (x−2)2.
L’aire du domaine gris´e est ´egale `a 4,5 unit´e. 1 2 3 4
1 2 3 4
0 f
g
Exercice 3 : Une petite d´emonstration (30 minutes) (5 points)
On consid`ere la fonction f, d´efinie sur [1 ; +∞[ par
f(t) = ln e−t+ 1 +t.
1. Montrer quef est croissante sur [1 ; +∞[.
2. Restitution organis´ee de connaissances
On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout r´eel x0 de [1 ; +∞[, on noteA(x0) l’aire du domaine d´elimit´e par la courbe repr´esentantf dans un rep`ere orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’´equationsx= 1 etx=x0.
On se propose de d´emontrer que la fonction ainsi d´efinie sur [1 ; +∞[ est une primitive def. (a) Que vautA(1) ?
(b) Soitx0 un r´eel quelconque de [1 ; +∞[ ethun r´eel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant :
f(x0)6 A(x0+h)− A(x0)
h 6f(x0+h).
(c) Lorsquex0>1, quel encadrement peut-on obtenir pour h <0 et tel que x0+h>1 ?
(d) En d´eduire la d´erivabilit´e enx0 de la fonctionAainsi que le nombre d´eriv´e enx0 de la fonctionA.
(e) Conclure.
1 2
1 2
0 x0 x0+h
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Exercice 4 : Probl`eme (50 minutes) (9 points)
La chocolaterie Delmas d´ecide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau.
Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent r´epondre `a la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pˆate liquide au chocolat.
Le volume d’un palais est l’aire de la face sup´erieure multipli´ee par l’´epaisseur.
A.P.M.E.P.
Durée : 4 heures
! Baccalauréat S Amérique du Sud "
21 novembre 2017
EXERCICE1 5 points
Commun à tous les candidats
La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau.
Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bon- bons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.
Partie A : modélisation par une fonction
Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonctionf définie sur ]0 ;+∞[ par :
f(x)=x2−2x−2−3lnx
x .
La représentation graphique de la fonctionf est donnée ci-dessous.
0
−1
−2
−3 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
Le repère est orthogonal d’unité2cm en abscisses et1cm en ordonnées.
1. Soitϕla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :
ϕ(x)=x2−1+3lnx.
a. Calculerϕ(1) et la limite deϕen 0.
b. Étudier les variations deϕsur ]0 ;+∞[.
En déduire le signe deϕ(x) selon les valeurs dex.
2. a. Calculer les limites def aux bornes de son ensemble de définition.
Partie A : mod´elisation par une fonction
Le demi contour de la face sup´erieure du palet sera mod´elis´e par une portion de la courbe de la fonctionf d´efinie sur ]0 ; +∞[ par :
f(x) = x2−2x−2−3 lnx
x .
La repr´esentation graphique de la fonctionf est donn´ee ci-dessous.
1 2 3 4 5 6
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
0 f
Le rep`ere est orthogonal d’unit´e2 cm en abscisses et1cm en ordonn´ees.
1. Soitϕla fonction d´efinie sur ]0 ; +∞[ par :
ϕ(x) =x2−1 + 3 lnx.
(a) Calculerϕ(1) et la limite de ϕen 0.
(b) ´Etudier les variations de ϕsur ]0 ; +∞[.
En d´eduire le signe deϕ(x) selon les valeurs dex.
2. (a) Calculer les limites def aux bornes de son ensemble de d´efinition.
(b) Montrer que sur ]0 ; +∞[ :f0(x) =ϕ(x) x2 . En d´eduire le tableau de variation de f.
(c) Prouver que l’´equationf(x) = 0 admet une unique solutionαsur ]0 ; 1].
D´eterminer `a la calculatrice une valeur approch´ee deα`a 10−2pr`es.
On admettra que l’´equationf(x) = 0 a ´egalement une unique solutionβ sur [1 ; +∞[ avecβ ≈3,61 `a 10−2 pr`es.
(d) SoitF la fonction d´efinie sur ]0 ; +∞[ par :
F(x) =1
2x2−2x−2 lnx−3 2(lnx)2. Montrer queF est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.
Partie B : r´esolution du probl`eme
Dans cette partie, les calculs seront effectu´es avec les valeurs approch´ees `a10−2 pr`es deαetβ de la partie A.
Pour obtenir la forme de la goutte, on consid`ere la courbe repr´esentative C de la fonctionf restreinte `a l’intervalle [α; β] ainsi que son sym´etriqueC0 par rapport `a l’axe des abscisses.
Les deux courbesC etC0 d´elimitent la face sup´erieure du palet. Pour des raisons esth´etiques, le chocolatier aimerait que ses palets aient une ´epaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilit´e serait-elle respect´ee ?
