− − − CALCUL INTEGRAL : EXERCICES BAC.

CALCUL INTEGRAL : EXERCICES BAC.

I. AMERIQUE DU SUD NOVEMBRE 2017.

La chocolaterie Delmas décide de commercialiser de nouvelles confiseries : des palets au chocolat en forme de goutte d’eau.

Pour cela, elle doit fabriquer des moules sur mesure qui doivent répondre à la contrainte suivante : pour que cette gamme de bonbons soit rentable, la chocolaterie doit pouvoir en fabriquer au moins 80 avec 1 litre de pâte liquide au chocolat.

Partie A : modélisation par une fonction

Le demi contour de la face supérieure du palet sera modélisé par une portion de la courbe de la fonction f définie sur ]0 ∞[ par : f (x) x ² 2x 2 3ln( x)

x

La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

Le repère est orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

1. Soit la fonction définie sur ]0 ∞[ par : (x) x ² 1 3ln(x ).

a. Calculer (1) et la limite de en 0.

b. Étudier les variations de sur ]0 ; +∞[.

c. En déduire le signe de ( x) selon les valeurs de x.

2.

a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b. Montrer que sur ]0 [, f (x ) φ( x)

x ² et en déduire le tableau de variation de f . c. Prouver que l’équation f ( x) 0 admet une unique solution α à ]0; 1] et déterminer à la calculatrice une valeur approchée de à 10

près.

On admettra que l’équation f (x) 0 a également une unique solution β sur [1 ; +∞[ avec β ≈ 3,61 à 10

près.

d. Soit F la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : F( x) 1

2 x ² 2 x 2ln( x ) 3

2 (ln( x))

. Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.

Partie B : résolution du problème

Dans cette partie, les calculs seront effectués avec les valeurs approchées à 10−

près de α et β de la partie A.

Pour obtenir la forme de la goutte, on considère la courbe représentative C de la fonction f restreinte à l’intervalle [α ; β] ainsi que son symétrique C′ par rapport à l’axe des abscisses.

Les deux courbes C et C′ délimitent la face supérieure du palet. Pour des raisons esthétiques, le

chocolatier aimerait que ses palets aient une épaisseur de 0,5 cm. Dans ces conditions, la contrainte de rentabilité serait-elle respectée ?

0

− 1

− 2

− 3 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

1

II. ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2016.

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ^{O i j} ) ^.

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f

définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels par f

( x) e

1+e

On désigne par C

la courbe représentative de f

dans le repère ( O i j )

On a représenté ci-contre les courbes C

pour différentes valeurs de n. Soit la suite ( ) ^u

définie pour tout entier naturel n par : u

 

0

1

f

( x)dx.

Partie A - Étude graphique

1. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite ( ) ^{un ?}

2. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de u

d’amplitude 0,05.

Partie B - Étude théorique 1. Montrer que u

ln

 

 

2

.

2. Montrer que u

u

1 puis en déduire u

. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, u

0.

4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout x réel, d

( x) f

(x)− fn ( x).

a. Montrer que, pour tout nombre réel x, d

(x ) e

1−e

1+e

b. Étudier le signe de la fonction d

sur l’intervalle [0;1].

5. En dédire que la suite ( ) ^u

est convergente.

6. On note ℓ la limite de la suite ( ) ^u

.

a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :u

u

1−e

n . b. En déduire la valeur de ℓ.

III. Pour tout n de , f

est la fonction définie sur [0;1] par f

(x)= x

e

et C

est la courbe de la fonction f

dans un repère.

( ) ^u

est la suite définie pour tout n de par u

=  

0

1

f

(x) dx . On a tracé ci-contre les courbes C

; C

; C

; C

; C

et C

1. Calculer u

.

2. A l’aide du graphique, conjecturer le signe et le sens de variation de la suite ( ) ^I

. Expliquer.

3. Démontrer vos conjectures. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite ( ) ^I

?

IV. On appelle f la fonction définie sur [0 [ par f (x)= 1 4 xe

−x

2

. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Déterminer la limite de f en + . En déduire une conséquence graphique pour C.

2. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0;+ õ[.

3. On considère la fonction F définie sur [0 [ par F( x)=

 

0

x

f(t )dt .

a. A l’aide du cours, donner la dérivée F ′ de f sur [0 [. En déduire le sens de variation de F

sur [0 [

b. Soit G la fonction définie sur [0;+õ[ par G (x )=−e

− x 2 e

x

2

. Montrer que G est une primitive de f sur [0 [.

c. En déduire que, pour tout x de [0 [, F( x)=− e

x 2

− x

2 e

x 2

+1.

d. Calculer la limite de F en + .

e. Justifier l’existence d’un unique réel α tel que F (α)=0,5. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α à 10

près par excès.

f. Soit n un entier naturel non nul. On note A

l’aire en unités d’aire de la partie du plan située

entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x=0 et x=n . Déterminer le plus petit

entier naturel n tel que A

0,5.