CALCUL INTEGRAL : EXERCICES BAC.

CALCUL INTEGRAL : EXERCICES BAC.

I. PONDICHERY AVRIL 2014.

Partie A f est une fonction définie et dérivable sur R. f ’ est la fonction dérivée de la fonction f.

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme C

la courbe représentative de la fonction f et C

la courbe représentative de la fonction f ’.

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe C

. Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C

.

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C

de la fonction f. Sur l’une d’entre elles, la courbe C

de la fonction dérivée f ’ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

SITUATION 1 SITUATION 2 SITUATION 3

2. Déterminer l’équation réduite de la droite tangente à la courbe C

en A.

3. On sait que pour tout réel x, f( x) e

ax b où a et b sont deux nombres réels.

a. Déterminer la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.

b. Prouver que a = 2.

4. Étudier les variations de la fonction f sur . 5. Déterminer la limite de la fonction f en + .

Partie B Soit g la fonction définie sur par g (x ) f( x) ( x 2).

1.

a. Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum sur . b. En déduire la position de la courbe C

par rapport à la droite .

La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe C

et de la droite , comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en gris.

Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : D est le point de coordonnées (– 2 ; 0), E est le point de coordonnées (2 ; 0), F est le point d’abscisse 2 de la courbe C

, G est le point d’abscisse – 2 de la courbe C

.

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite D, la courbe C

, la droite d’équation x – 2 et la droite d’équation x 2.

Figure 2 Figure 3

2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte

puis la valeur arrondie à 10

du résultat).

1

II. ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2016.

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ^{O i j} ) ^.

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f

définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels par f

( x) e

1+e

On désigne par C

la courbe représentative de f

dans le repère ( O i j )

On a représenté ci-contre les courbes C

pour différentes valeurs de n. Soit la suite ( ) ^u

définie pour tout entier naturel n par : u

 

0

1

f

( x)dx.

Partie A - Étude graphique

1. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite ( ) ^{un ?}

2. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de u

d’amplitude 0,05.

Partie B - Étude théorique 1. Montrer que u

ln

 

  1+e

2 .

2. Montrer que u

u

1 puis en déduire u

. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, u

0.

4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout x réel, d

( x) f

(x)− fn ( x).

a. Montrer que, pour tout nombre réel x, d

(x ) e

1−e

1+e

b. Étudier le signe de la fonction d

sur l’intervalle [0;1].

5. En dédire que la suite ( ) ^u

est convergente.

6. On note ℓ la limite de la suite ( ) ^u

.

a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :u

u

1−e

n . b. En déduire la valeur de ℓ.

c. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de u

pour un entier naturel N non nul donné. Compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l’algorithme ci-contre.

III. D après NOUVELLE CALEDONIE MARS 2017.

On considère la fonction f définie et dérivable sur [0;+∞[ par f (x)= xe

et on note C

sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

1. Construire le tableau de variation de f en faisant apparaître les limites.

2. Soit F la fonction définie et dérivable sur [0;+∞[ par F( x) (−x−1) e

. Démontrer que la fonction F est une primitive de f sur [0;+∞[.

Partie B

Soit a un nombre réel tel que 0 a 1. On considère la droite D

d’équation y ax et M le point d’intersection de la droite D

avec la courbe C

. On note x

l’abscisse du

point M.

On note H( a) l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-contre, c’est-à-dire du domaine situé sous la courbe C

au- dessus de la droite D

et entre les droites d’équation x 0 et x x

.

Le but de cette partie est d’établir l’existence et l’unicité de la valeur de a telle que H(a) 0,5 puis d’étudier un algorithme.

1.

a. Prouver que la droite D

et la courbe C

ont un unique point d’intersection M distinct de l’origine. Préciser l’abscisse de M.

b. Etudier les positions relatives de D

et C

. 2. Montrer que H( a) a ln(a)− 1

2 (ln(a))

+1− a.

3. Soit la fonction H définie sur ]0;1] par H( x) x ln(a )− 1

2 (ln(x))

+1− x.

a. On admet que H est dérivable sur ]0 1]. Déterminer H′(x ).

On admet que le tableau de variations de H correspond à celui qui est proposé ci-dessous.

b. Justifier qu’il existe un unique réel α ∈]0;1[ tel que H( α)=0,5.

4. On considère l’algorithme présenté ci-contre.

Que représentent les valeurs A et B affichées en sortie de cet algorithme ?

5. Donner un encadrement d’amplitude 0,01 de α.