CALCUL INTEGRAL EXERCICES BAC

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CALCUL INTEGRAL EXERCICES BAC

I. D’après Amérique du Sud novembre 2014.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4] par f (x )=(3x −4)e ^x +2.

On désigne par f ′ la dérivée de la fonction f.

1. Montrer que l’on a, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 4], f ′ (x ) =(7−3x )e ^x .

2. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 4] puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.

3.

a. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur l’inter- valle [0 ; 4].

b. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de α à 0,01 près.

4. On considère la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 4] par F( x)=(1−3 x )e ^x +2 x.

a. Montrer que F est une primitive de f sur [0 ; 4].

b. Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 4].

II. Amérique du Nord mai 2012.

Partie 1.

On donne dans un repère, la courbe C représentative d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−2 ; 4].

On nomme A le point de C d’abscisse −1 et B le point de C d’abscisse 0.

On sait que :

- La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [−2 ; −1] et strictement décroissante sur l’intervalle [−1 ; 4].

- La tangente à C au point A est horizontale.

- La droite T est la tangente à C et a pour équation y=− x+2.

Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

1.

a. Donner la valeur de f ′(−1).

b. Déterminer le signe de f ′(2).

c. Interpréter graphiquement f ′(0) puis donner sa valeur.

2. Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l’intégrale  

-1

0 f( x)dx exprimée en unités d’aire

Partie 2

La fonction de la partie A a pour expression f (x )=(x +2) e ^{- x} .

1. Calculer la valeur exacte de l’ordonnée du point A de la courbe C.

2. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 4].

3. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [−2 ; 4] par F (x )=(− x−3) e ^{- x} est une primitive de f.

4.

a. Calculer la valeur exacte de  

-1

0 f( x)dx.

b. Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2. de la partie A.

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1

III. Métropole juin 2015.

La courbe (C) ci-contre représente dans un repère orthogonal une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−4 ; 3]. Les points A d’abscisse −3 et B(0 ; 2) sont sur la courbe (C).

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe (C) respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note f ′ la fonction dérivée de f .

Les parties A et B sont indépendantes Partie A

1. Par lecture graphique, déterminer : a. f ′(−3) ;

b. f (0) et f ′(0).

2. La fonction f est définie sur [−4 ; 3] par

f (x )= a+( x+ b) e ^{- x} où a et b sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

a. Calculer f ′(x) pour tout réel x de [−4 ; 3].

b. À l’aide des questions 1.b. et 2.a., montrer que les nombres a et b vérifient le système

 

 a+ b=2 1−b =−3.

c. Déterminer alors les valeurs des nombres a et b.

Partie B

On admet que la fonction f est définie sur [−4 ; 3] par f( x )=−2+(x +4)e ^x .

1. Justifier que, pour tout réel x de [−4 ; 3], f ′(x) =(− x−3) e ^x et en déduire le tableau de variation de f sur [−4 ; 3].

2. Montrer que l’équation f (x)=0 admet une unique solution α sur [−3 ; 3], puis donner une valeur approchée de α à 0,01 près par défaut.

3. On souhaite calculer l’aire S , en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−3 et x=0.

a. Exprimer, en justifiant, cette aire à l’aide d’une intégrale.

b. Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous :

À l’aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l’aire S puis sa valeur arrondie au centième.

IV. Centres étrangers juin 2014

Partie A : Étude d’une fonction Soit f la fonction définie sur par f (x)= xe ^x²−1 .

C f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan. On note f′ la fonction dérivée de f.

1.

a. Montrer que pour tout réel x, f ′(x )=(2x ²+1)e ^x²−1 . b. En déduire le sens de variation de f sur .

2. Soit h la fonction définie sur par h( x)= x ( 1− x ^x²−1 ) .

a. Justifier que l’inéquation 1− e ^x²−1 Ã0 a pour ensemble de solutions l’intervalle [−1;1].

b. Déterminer le signe de h (x ) sur 1’intervalle [−1 ; 1].

c. En remarquant que pour tout réel x, on a l’égalité h( x)= x− f (x ), déduire de la question précédente la position relative de la courbe C f et de la droite D d’équation y =x sur l’intervalle [0;1]

.

3. Soit H la fonction définie sur par H( x)= 1 2 x²− 1

2 e ^x²−1 et soit I=  

0

1 h( x)dx.

a. Montrer que H est une primitive de la fonction h sur .

b. Calculer la valeur exacte de I.

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Partie B : Applications

Sur le graphique suivant, sont tracées sur l’intervalle [0 ; 1] :

• la courbe C f représentative de la fonction étudiée en partie A ;

• la courbe C g représentative de la fonction définie par g( x)= x ³ ;

• la droite D d’équation y =x .

Les courbes C f et C g illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :

• sur l’axe des abscisses, x représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l’effectif total de l’entreprise ;

• sur l’axe des ordonnées, f (x ) et g( x) représentent pour chaque entreprise la proportion de la masse salariale (c’est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante.

Par exemple :

Le point M (0,5;0,125) est un point appartenant à la courbe C g . Pour l’entreprise G cela se traduit de la façon suivante : si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c’est- à-dire des 50 % aux revenus les plus faibles) représente 12,5 % de la masse salariale.

1. Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80 % des employés ayant les salaires les plus faibles dans l’entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l’unité.

2. On note A f l’aire du domaine délimité par la droite D , la courbe C f et les droites d’équations x =0 et x=1. On appelle indice de Gini associé à la fonction f, le nombre réel noté I _f et défini par I _f =2A _f .

a. Montrer que I f = 1 e .

b. On admet que, plus l’indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l’entreprise

est égalitaire. Déterminer, en justifiant, l’entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la

plus égalitaire.