Exercices du bac sur l’intégration
I Antilles-Guyane septembre 2017
Partie A
Soit la fonction f définie et dérivable sur [1 ; +∞[ telle que, pour tout nombre réelxsupérieur ou égal à 1,
f(x)=1 xln(x).
On noteC la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1. Démontrer que la courbeC admet une asymp- tote horizontale.
2. Déterminer la fonction dérivéef′de la fonction f sur [1 ;+∞[.
3. Étudier les variations de la fonction f sur [1 ; +∞[.
Partie B
On considère la suite (un) définie par un=
Z2
1
1
xn+1ln(x) dxpour tout entier natureln. 1. Démontrer queu0=1
2[ln(2)]2.
Interpréter graphiquement ce résultat.
2. Prouver que, pour tout entier naturelnet pour tout nombre réelxde l’intervalle [1 ; 2], on a
0É 1
xn+1ln(x)É 1
xn+1ln(2).
3. En déduire que, pour tout entier natureln, on a 0ÉunÉln(2)
n µ
1− 1 2n
¶ . 4. Déterminer la limite de la suite (un).
II Amérique du Nord mai 2014
On considère la fonctionf définie sur [0 ;+∞[ par f(x)=5e−x−3e−2x+x−3.
On note Cf la représentation graphique de la fonction f etDla droite d’équationy=x−3 dans un repère orthogonal du plan.
Partie A : Positions relatives deCf etD
Soitg la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ parg(x)=f(x)−(x−3).
1. Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, g(x)>0.
2. La courbeCf et la droite D ont-elles un point commun? Justifier.
Partie B : Étude de la fonctiong
On note M le point d’abscissex de la courbeCf, Nle point d’abscissexde la droiteDet on s’intéresse à l’évolution de la distanceM N.
1. Justifier que, pour toutxde l’intervalle [0 ;+∞[, la distanceM Nest égale àg(x).
2. On noteg′la fonction dérivée de la fonctiong sur l’intervalle [0 ;+∞[.
Pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, calculer g′(x).
3. Montrer que la fonction g possède un maxi- mum sur l’intervalle [0 ; +∞[ que l’on détermi- nera.
En donner une interprétation graphique.
Partie C : Étude d’une aire
On considère la fonctionA définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
A(x)= Zx
0 [f(t)−(t−3)] dt.
1. Hachurer sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie)le domaine dont l’aire est donnée parA(2).
2. Justifier que la fonction A est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
3. Pour tout réel x strictement positif, calculer A(x).
4. Existe-t-il une valeur dextelle queA(x)=2 ? Page 1/2
III Asie juin 2014
Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 1.
On note fn la fonction définie pour tout réelx de l’intervalle [0 ; 1] par
fn(x)= 1 1+xn.
Pour tout entiernÊ1, on définit le nombreInpar In=
Z1
0 fn(x) dx= Z1
0
1 1+xndx.
1. Les représentations graphiques de certaines fonctionsfnobtenues à l’aide d’un logiciel sont tracées ci-après.
En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite (In) l’existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque n tend vers+∞.
2. Calculer la valeur exacte deI1.
3. (a) Démontrer que, pour tout réelxde l’inter- valle [0 ; 1] et pour tout entier naturelnÊ1, on a :
1 1+xn É1.
(b) En déduire que, pour tout entier naturel nÊ1, on a :InÉ1.
4. Démontrer que, pour tout réel xde l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturelnÊ1, on a :
1−xnÉ 1 1+xn. 5. Calculer l’intégrale
Z1
0
¡1−xn¢ dx.
6. À l’aide des questions précédentes, démontrer que la suite (In) est convergente et déterminer sa limite.
7. On considère l’algorithme suivant :
Variables : n,petksont des entiers naturels
xetI sont des réels Initialisation : Iprend la valeur 0 Traitement : Demander un entiernÊ1
Demander un entierpÊ1 Pourkallant de 0 àp−1
faire :
xprend la valeur k p Iprend la valeur I+ 1
1+xn×1 p Fin Pour AfficherI
(a) Quelle valeur, arrondie au centième, ren- voie cet algorithme si l’on entre les valeurs n=2 etp=5 ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme. Les va- leurs deI seront arrondies au millième.
k x I
0
4
(b) Expliquer pourquoi cet algorithme permet d’approcher l’intégraleIn.
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