Étude de la fonctionf

AP 10 - Intégration 2 - TS

EXERCICE1 Polynésie Mai 2013 - Type Bac - Durée approximative : 30min On considère la fonction f définie surRpar

f(x)=(x+2)e^−x.

On noteC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

1. Étude de la fonctionf.

a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbeC avec les axes du re- père.

b. Étudier les limites de la fonctionf en−∞et en+∞. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbeC^.

c. Étudier les variations def surR.

2. Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe.

On noteD le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbeC et les droites d’équation x=0 etx=1. On approche l’aire du domaineD en calculant une somme d’aires de rectangles.

a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :

• Sur l’intervalle [

0 ; 1 4 ]

, on construit un rectangle de hauteurf(0)

• Sur l’intervalle [1

4 ; 1 2 ]

, on construit un rectangle de hauteurf (1

4 )

• Sur l’intervalle [1

2 ; 3 4 ]

, on construit un rectangle de hauteurf (1

2 )

• Sur l’intervalle [3

4 ; 1 ]

, on construit un rectangle de hauteurf (3

4 ) Cette construction est illustrée ci-dessous.

1.

1.

2.

0

C

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaineD ^en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :

Variables : kest un nombre entier Sest un nombre réel Initialisation : Affecter àSla valeur 0

Traitement : Pourkvariant de 0 à 3

¯¯¯¯Affecter àSla valeurS+1 4f

(k 4 ) Fin Pour

Sortie : AfficherS

Donner une valeur approchée à 10⁻³près du résultat affiché par cet algorithme.

b. Dans cette question,N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’inter- valle [0 ; 1] enN intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2.a.

Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires desN rec- tangles ainsi construits.

3. Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe.

Soitg la fonction définie surRpar

g(x)=(−x−3)e^−x. On admet queg est une primitive de la fonction f surR.

a. Calculer l’aireA ^{du domaine}D, exprimée en unités d’aire.

b. Donner une valeur approchée à 10⁻³près de l’erreur commise en remplaçantA ^{par la va-} leur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2. a, c’est-à-dire l’écart entre ces deux valeurs.

EXERCICE2 Liban Juin 2015 - Type Bac - Durée approximative : 30min On définit la suite (u_n) de la façon suivante :

pour tout entier natureln, u_n=

∫ ₁

0

xⁿ 1+xdx.

1. Calculeru0=

∫ ₁

0

1 1+xdx.

2. a. Démontrer que, pour tout entier natureln, un+1+un= 1 n+1. b. En déduire la valeur exacte deu1.

3. a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rangn de la suite (u_n) oùnest un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.

Variables : i etnsont des entiers naturels uest un réel

Entrée : Saisirn

Initialisation : Affecter àula valeur . . . Traitement : Pouri variant de 1 à . . .

|Affecter àula valeur . . . Fin de Pour

Sortie : Afficheru

b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n 0 1 2 3 4 5 10 50 100

u_n 0,693 1 0,306 9 0,193 1 0,140 2 0,109 8 0,090 2 0,047 5 0,009 9 0,005 0

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (u_n) peut-on émettre ? 4. a. Démontrer que la suite (u_n) est décroissante.

b. Démontrer que la suite (u_n) est convergente.

5. On appelleℓla limite de la suite (u_n). Démontrer queℓ=0.

EXERCICE3 Pondichéry avril 2014 - Type Bac - Durée appreoximative : 60min Commun à tous les candidats

Partie A

f est une fonction définie et dérivable surR. f^′est la fonction dérivée de la fonction f.

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nommeC1la courbe représentative de la fonction f et C2la courbe représentative de la fonctionf^′.

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbeC1. Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbeC2.

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C1 de la fonction f. Sur l’une d’entre elles, la courbe C2 de la fonction dérivée f^′ est tracée convenablement.

Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

Situation 1

−1

−2 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4

−1

−2

−3

C1

C2

O

Situation 2 (C2est une droite)

−1

−2 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4

−1

−2

−3

C1

C2

O

Situation 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3

−1

−2

−3

C1

C2

O

2. Déterminer l’équation réduite de la droite∆tangente à la courbeC1en A.

3. On sait que pour tout réelx, f(x)=e^−x+ax+boùaetbsont deux nombres réels.

a. Déterminer la valeur deben utilisant les renseignements donnés par l’énoncé.

b. Prouver quea=2.

4. Étudier les variations de la fonction f surR. 5. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞. Partie B

Soitg la fonction définie surRparg(x)=f(x)−(x+2).

1. a. Montrer que la fonctiong admet 0 comme minimum surR. b. En déduire la position de la courbeC1par rapport à la droite∆.

La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbeC1et de la droite∆, comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en gris.

figure 2

C1

∆

−

→ı

−

→ȷ

D O E

G

F figure 3

Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : - D est le point de coordonnées (−2 ; 0),

- E est le point de coordonnées (2 ; 0), - F est le point d’abscisse 2 de la courbeC1, - G est le point d’abscisse−2 de la courbeC2.

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite∆, la courbeC1, la droite d’équationx= −2 et la droite d’équationx=2.

2. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10⁻²du résultat).

Résultats ou indices

Ex. 1

1.a. (0; 2). 1.b. lim

x→−∞f(x)= −∞ et lim

x→+∞f(x) =0. 1.c. f est croissante sur ]− ∞;−1[, décroissante ailleurs, etf(−1)=e.

2.a.1, 642.2.b.Pourkvariant de 0 àN−1, Affecter àSla valeurX+ 1 Nf

(k N )

. 3.a.3−4

e 3.b.≈0, 113 Ex.2

1.l n(2).

2.a. 1

n+1.2.b.u₁=1−l n(2).

3.a.l n(2).n. 1

i −u3.b.décroissante, convergente vers 0.

4.a.u_n+1−u_n....4.b.minorée par...

5.déduite de 4.a. et 4.b...

Ex.3 Partie A.

1.Situation 1.

2.y=x+2.

3.a.b=1.3.b. f^′(0)=1...

4.Décroissante sur ]− ∞;−l n(2)], croissante ailleurs.

5. lim

x→+∞f(x)= +∞

Partie B.

1.a.Calculer g’1.b.La courbe est au-dessus de∆. 2.e²−e⁻²−4≈3, 25 unités d’aire.