BTS TSE FRN 11
CALCUL INTEGRAL I NTÉGRATION PAR P ARTIES
Exercices
Exercice 1 :
A l’aide d’une intégration par parties calculer la valeur exacte des intégrales suivantes :
0 e
1
e 1 1 2
0
2 t 3
3 0 1
0
t 2
4 0 1
0
t
2
2 1
0
t 3
dt ) t 2 sin(
) 1 t ( H
dt
) t ln(
) 5 t ( E
dt ) t 2 ln(
) 5 t 3 t ( J
dt e ) 3 t 2 ( D
dt ) t 3 cos(
t 3 K
dt
e ) t 4 6 ( C
dt ) t cos(
) 1 t ( G
dt
e ) 1 t 3 ( B
dt ) t sin(
) 1 t 2 ( F
dt
e ) 5 t ( A
Exercice 2 :
A l’aide d’une double intégration par parties (même pas mal!!!), calculer la valeur exacte des intégrales suivantes :
t d ) t cos(
e
A 2
2
t
B e sin(t)dt
0
t
e cos6tdt
C 2t .
2. En déduire le calcul de l’intégrale : J et (lnt)²dt.
1 n n
Exercice 4 :
On désigne par n un entier naturel, on pose : . dt e
² t I n
0 t
n
1. Calculer In en fonction de n.
2. Déterminer limIn.
n
Exercice 5 :
Soit .
t 1
t t 3 ) t
t (
f 3 2
1. Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour tout t1:
t. 1 c d bt
² at ) t (
f
2. Calculer I f(t)dt.
5 , 0
0
3. A l’aide d’une intégration par parties, calculer : . dt ) t 1 ln(
) 1 t 6
² t 3 ( J 0,5
0
Exercice 6 :
On se propose de calculer l’intégrale : I 1(2t 1)ln(t 2)dt.
0
1. Montrer que le calcul de I peut se ramener au calcul de K, avec K défini par : .
2dt t
t
² K 1t
0
2. Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout réel t différent de –2, on ait :
2. t b c 2 at
t t t²
Calculer alors K.
3. Calculer I ; on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième près.
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CALCUL INTEGRAL I NTÉGRATION PAR P ARTIES
Correction des exercices
Exercice 1 :
1 3t
0
A(t 5)e dt
dérivée primitive 3t 3t
1 1 1 1
3t 1 3t 3t 1 3t 3t
3t
0 0
0 0 0 0
3t 3t 1 3 3 0 0
0
U t 5 U 1
V e V e
3
e e e 1 e 1 e
A UV U V (t 5) 1 dt (t 5) e dt (t 5)
3 3 3 3 3 3 3
e e e e e e
(t 5) 4 5
3 9 3 9 3
13e3 16
9 9 .
1 t
0
B ( 3t 1)e dt
dérivée
t primitive
t t
1 1
1 1
t t t t
0 0 0 0
1 1 1
t t t t 1
0 0 0
U 3t 1 U 3
V e V e e
1
B UV U V ( 3t 1)( e ) 3 ( e )dt ( 3t 1)( e ) 3 e dt ( 3t 1)( e ) 3 e ( 3t 1)( e ) 3e 2e 3e
1
e03e0
5e12. C 1(6 4t)e dt
0
t
2
dérivée primitive 2t 2t
1 1
2t 1 2t 2t 1
2t
U 6 4t U 4
V e V e
2
e e e
C UV U V (6 4t) 4 dt (6 4t) 2 e dt
1 3t
2 0
D(2t 3)e dt
dérivée
3t 3t
3t 2 2
primitive 2
1 1
3t 3t 3t
2 1 2 2 1 3t
2
0 0
0 0
1 1
3t 3t
2 2
0 0
U 2t 3 U 2
e 2e
V e V
3 3
2
2e 2e 2e 4
D UV U V (2t 3) 2 dt (2t 3) e dt
3 3 3 3
2e 4 2e
(2t 3) (2t 3)
3 3 3
3t 3t 1 3 3 3
0 0
2 2 2 2 2
0
2e 8e 10e 8e 6e 8e 22e 10
3 9 3 9 3 9 9 .
e 1
E(t 5)ln(t)dt
primitive
dérivée
e e
e e
1 1
1 1
e e
1 1
U t 5 U t² 5t
2
V lnt V 1
t
t² t² 1 t² t
E UV UV 5t lnt 5t dt 5t lnt 5 dt
2 2 t 2 2
t² 5t lnt t² 5t t² 5t
2 4 2
e
1
lnt t² 5t 4 e² 5e lne e² 5e 1² 5 ln1 1² 5
2 4 2 4
e² 5e e² 5e 19 e² 19.
2 4 4 4
2
2
F (2t 1)sin(t)dt
dérivée primitive
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
U 2t 1 U 2
V sint V cost
F UV U V (2t 1)( cost) 2( cost)dt ( 2t 1)cost 2 costdt
( 2t 1)cost 2 sint ( 2t 1)cost 2sint
2
0 2sin 0 2sin 2 2 4.
2 2
4
0
G (t 1)cos(t)dt
dérivée primitive
4 4
4 4
0 0
0 0
4 4 4
0 0 0
U t 1 U 1
V cost V sint
G UV U V (t 1)sint 1 sintdt (t 1)sint sintdt (t 1)sint cost (t 1)sint cost
1 sin cos
4 4 4
sin0 cos0
41 22 22 1.
3 0
dt ) t 3 cos(
t 3 K
dérivée
primitive
3 3
3 3
0 0 0
0
3 03
0
U 3t U 3
sin(3t)
V cos(3t) V
3
sin(3t) sin(3t)
K UV U V ( 3t) 3 dt tsin(3t) sin(3t)dt
3 3
cos(3t) cos(3t)
tsin(3t) tsin(3t)
3 3
3 0
cos(3 )3 cos(0)
sin(3 ) 0sin(0)
3 3 3 3
1 1 2 3 3 3.
e 2 1
J (t 3t 5)ln(2t)dt
primitive 3
dérivée
3 e e 3
1 1
3 e e ² 3
1 1
t 3t²
U t² 3t 5 U 5t
3 2
2 1
V ln(2t) V
2t t
t 3t² t 3t² 1
J UV UV 5t ln(2t) 5t dt
3 2 3 2 t
t 3t² t 3t t 3
5t ln(2t) 5 dt
3 2 3 2 3
e e
3
1 1
3 3 e
t² t 3t²
5t ln(2t) 5t
2 9 4
t 3t² t 3t²
0
H(t 1)sin( 2t)dt
dérivée
primitive
0 0
0 0
0
U t 1 U 1
cos( 2t) cos( 2t)
V sin( 2t) V
2 2
cos( 2t) cos( 2t) cos( 2t) 1
H UV U V (t 1) 1 dt (t 1) cos( 2t)dt
2 2 2 2
cos( 2t) 1 sin( 2t) (t 1)
2 2 2
0 0
cos( 2t) 1
(t 1) sin( 2t)
2 4
cos( 2 ) sin( 2 ) cos(0) sin(0) 1 1
( 1) .
2 4 2 4 2 2 2
Exercice 2 :
t d ) t cos(
e
A 2
2
t
UV UV
e sint
e sintdt
e sint
.A
t sin V t
cos V
e U e
U
2 2 2 t
2 2 t
2 t primitive
t dérivée
t
Calcul de la deuxième intégrale, à l’aide d’une IPP :
2
2
tsintdt e
UV UV
e cost
e costdt
e cost
e costdt
e cost
At cos V
t sin V
e U e
U
2 2 2 t
2 2 t
2 2 t
2 2 t
2 t
primitive dérivée t t
Calcul final de A :
2).
( 2 ch
e A e
e 2 e
cos 2 e
cos 2 e
sin 2 e
sin e t
cos e t sin e A 2
A t cos e t
sin e A t cos e t
sin e t
sin e A
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 t
2 t
2 2 2 t
2 2 t
2 2 t
2 2 t
2 t
t d ) t sin(
e B
0
t
UV UV
e cost
e costdt
e cost
e costdt
e cost
.B
t cos V
t sin V
e U e
U
t 0 0
0 t t
0 0 t t
primitive
t dérivée
t
Calcul de la deuxième intégrale, à l’aide d’une IPP :
0
tcostdt e
UV UV
e sint
e sintdt
e sint
e sintdt
e sint
Bt sin V t
cos V
e U e
U
0 t 0
t 0 t 0
t 0
t primitive
t dérivée
t
Calcul final de B :
2 . 1 B e
1 e 0 sin e sin e 0 cos e cos
e t
sin e t cos e B 2
B t sin e t cos e B t sin e t cos e t
cos e B
0 0
0 t 0 t
0 t 0 t 0
t 0 t 0
t
e cos6tdt C 2t
3 . 1 6
) t 6 e sin(
dt ) t 6 sin(
3 e 1 6
) t 6 e sin(
. 3 dt
) t 6 e sin(
6 ) t 6 e sin(
6 dt ) t 6 e sin(
6 2 ) t 6 e sin(
V U UV C
6 ) t 6 V sin(
) t 6 cos(
V
e 2 U e
U
t 2 t
2 t
2
t 2 t
2 t
2 t
2 primitive
t 2 dérivée
t 2
Calcul de la deuxième intégrale, à l’aide d’une IPP :
dt ) t 6 sin(
e2t
dt3 ) t 6 e cos(
6 ) t 6 e cos(
6 dt ) t 6 e cos(
6 2 ) t 6 e cos(
V U UV
6 ) t 6 V cos(
) t 6 sin(
V
e 2 U e
U
t 2 t
2 t
2 t
2 primitive
t 2 dérivée
t 2
10 . ) 2 ( sh 20
e C e
18e e 1
18 1 10 C 9 18e
e 1 18 C 1 9 ) 10 6 cos(
18e ) 1 6 cos(
18e 1
6 ) 6 e sin(
6 ) 6 e sin(
9 C ) 10 t 6 cos(
18e 1 6
) t 6 e sin(
9C C 1
. 9C ) 1 t 6 cos(
18e 1 6
) t 6 e sin(
3C 1 6
) t 6 e cos(
3 1 6
) t 6 e sin(
3 1 6
) t 6 e sin(
C
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
t 2 t
2 t 2 t
2
t 2 t
2 t
2
Exercice 3 :
1. I et lntdt.
1 n n
n 1
² . ne 1² 1 n
1
² 1 n
e 1 n e 1 n
1 1 n
e 1 n 1 1 1ln n e 1 1ln n e
1 n
t 1 n t 1 1ln n dt t 1 t n t 1 1ln n dt t t 1 1 n t t
1 ln n V t U UV I
t V 1 t
ln V
1 n U t t
U
1 n 1
n 1 n 1
n 1
n
e
1 1 e n
1 1 e n
1 n e
1 1 e n
1 1 e n
1 1
n n
dérivée
1 primitive n
n
2. J t (lnt)²dt.
e
1 n n
n 1
.2 e ) 1
² n ( 1 n
ne 21 1 n
e
² 1 n
ne 1 1 n
² 2 1 1ln n
² 1 e 1ln n e
1I n
² 2 t 1ln n tdt t ln 1 t n
² 2 t 1ln n dt t t
t ln 2 1 n
² t t 1 ln n V t U UV J
t t ln t 2 t ln 2 1 V
² t ln V
1 n U t t
U
3 1 n 3
1 n 1
n 1 n 1
n
n e
1 1
e n
1 n e
1 1
e n
1 1 e n
1 1
n n
dérivée
1 primitive n
n
Exercice 4 :
1. I t²e dt.
n
0 t
n
2 e
² t dt te 2 e
² t dt e t 2 e
² t V U UV I
1 e V e e
V
t 2 U
² t U
n 0 n t
0 n t 0 n t
0 n t 0 t n
t t primitive
t dérivée
Calcul de la deuxième intégrale, à l’aide d’une IPP :
n
0
tdt te
ne
e 1
e
n 1
1.e te
dt e te
dt e 1 e
t V U UV
1 e V e e
V
1 U t
U
n n
n
n 0 n t
0 n t
0 n t 0 n t
0 n t 0 t t t primitive
t dérivée
Calcul final :
t²e
2
n²e
2e
n 1
2 e
n² 2n 2
2.In tn0 n n n 2. nlimIn nlim
en
n²2n2
2
²n n2 2 .I.F
lim 0 e lim
n n
n
La fonction exponentielle est prioritaire donc limIn 2.
n
Exercice 5 :
1.
.t 1
d c c b t b a
² t at
t 1
d ct c
² bt bt at
² at t 1
d t
1
t 1 c bt
² at t 1 c d bt
² at ) t ( f
3
3
Par identification avec
t 1
t t 3 t3 2
, on obtient le système suivant :
t1 . 1t2 1
²t1) t(f 1c d
11 bc
2a 3b
1a
0d c
1c b
3b a
1a
. dt ) t 1 ln(
) 1 t 6
² t 3 ( J 0,5
0
.24 17 8
2 ln 7 24 2 17 ln ) 5 , 0 ln(
5 , 0
² 5 , 0 3 5 , 0 I ) t 1 ln(
t
² t 3 t t dt
1 t
² t 3 t
) t 1 ln(
t
² t 3 t tdt 1 t 1
² t 3 t )
t 1 ln(
t
² t 3 t V U UV J
t 1 V 1 )
t 1 ln(
V
t
² t 3 t U 1
t 6
² t 3 U
5 3 , 0 0 5 3
, 0
0 3
5 , 0 0 5 3
, 0
0 5 3 , 0 0 3
dérivée
3 primitive
Exercice 6 :
Calcul de : I 1(2t 1)ln(t 2)dt.
0
1. I (2t 1)ln(t 2)dt.
1
0
1 1ln(1 2) 0² 0 ln(0 2)
K 2ln3 K.2dt t
t
² ) t
2 t ln(
t
² t 2dt t t 1
² t ) 2 t ln(
t
² t V U UV I
2 t V 1 )
2 t ln(
V
t
² t U 1
t 2 U
1 0 1 0 1
0 1 0 dérivée
primitive
2.
2 t
c b 2 b a 2 t
² at 2
t
c b 2 bt at 2
² at 2
t
c 2 t b at 2 t b c
at
.
Par identification avec 2 t
t
² t
, on obtient le système suivant :
2t . 1t1 2 2t
t²t 2b2 c
121 a21b 1a
0cb2 1ba2 1a
. 2 ln 2 3 ln 2 2 K 1
) 2 0 ln(
2 2 0
) 0 2 1 ln(
2 2 1 ) 1 2 t ln(
2 2 t
² dt t 2 t 1 2 t 2dt
t t
² K t
1
0 1
0 1
0
3. I2ln3K2ln3
