Chapitre 06 Continuite

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6 Continuit ´e et applications

Objectifs :

• Comprendre intuitivement la notion de continuit´e

• Savoir exploiter le théorème des valeurs intermédiaires Aper¸cu historique :

L’un des paradoxes de Zénon d’Elée(v°s. av. JC)fait appel à la notion de continuité : c’est le paradoxe de la dichotomie (”couper en deux”) :

Zénon se tient à huit mètres d’un arbre, tenant une pierre. Il lance sa pierre dans la direction de l’arbre.

Avant que le caillou puisse atteindre l’arbre, il doit traverser la première moitié des huit mètres. Il faut un certain temps, non nul, à cette pierre pour se déplacer sur cette distance. Ensuite, il lui reste encore quatre mètres à parcourir, dont elle accomplit d’abord la moitié, deux mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis la pierre avance d’un mètre de plus, progresse après d’un demi-mètre et encore d’un quart, et ainsi de suite ad infinitum et à chaque fois avec un temps non nul. Zénon en conclut que la pierre ne pourra pas frapper l’arbre, puisqu’il faudrait pour cela que soit franchie effectivement une série infinie d’étapes, ce qui est impossible. Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu’il soit divisible à l’infini ne le rend pas impossible pour autant.

1. Continuit ´e

A. Approche graphique de la continuit ´e

En observant les trois courbes ci-dessous, on remarque que les deux premières peuvent être tracées^≪sans lever le crayon^≫alors que la troisième admet un^≪saut^≫à l’abscisse 2. Les deux premières représentent des fonctions dites continues sur l’intervalle [−2; 4] alors que la troisième représente une fonction qui admet une discontinuité enx= 2.

~i

~j

~i

~j

~i

~j

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B. Approche intuitive de la continuit ´e

D éfinition 6.1 Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalleI si elle est d éfinie sur cet intervalle et si sa courbe repr ésentative se trace^≪d’un trait continu^≫, sans lever le crayon.

La continuit é d’une fonctionf en un pointad’un intervalleIse traduit math ématiquement par le fait que la limite à droite def enasoit égale à sa limite à gauche et soit égale àf(a):

x→alim

<

f(x) = lim

x→a

>

f(x) =f(a)

Une fonctionf est continue sur un intervalleIsi elle est continue en tout point deI.

C. Partie enti `ere

Un nombre réel est composé d’une partie entière finie (avant la virgule) et d’une partie décimale (après la virgule). La partie entière de 4,65 est 4. On remarque également que tout nombre réelxappartient à un intervalle du type [n;n+ 1[ oùn∈Z.

D éfinition 6.2 La partie enti ère dex∈Rnot éeE(x)est d éfinie ainsi :

six∈[n;n+ 1[ (n∈Z), alorsE(x) =n Exemple 6.1 Ainsi,E(3,14) = 3car3,14∈[3; 4[. Et

E(−4,32) =−5car−4,32∈[−5;−4[. La

repr ésentation graphique de la fonction partie enti ère x7→E(x), pourx∈[−2; 3[est trac ée ci-contre. Elle est continue sur chaque intervalle]n;n+ 1[o ùn∈Z et discontinue en chaquex0∈Z.

~i

~j

D. Propri ´et ´es

Th éor ème 6.1 Soitf une fonction d éfinie sur un intervalleI. Sifest d érivable surIalorsf est continue surI.

D émonstration Soitaun r éel deItel quef est d érivable enac’est- à-dire quelimx→af(x)−f(a)

x−a =f^′(a).

Pour toutx6=aon poseg(x) = ^f(x)_x^−f(a)−a . On sait quef est d ´erivable enadonclimx→ag(x) =f^′(a). Pour x6=aon af(x)−f(a) =g(x)(x−a)et doncf(x) =f(a) +g(x)(x−a). De plus :

limx→ag(x) =f^′(a) limx→a(x−a) = 0

donc lim

x→ag(x)(x−a) = 0

Et donc finalement :

xlim→af(x) =f(a) + lim

x→ag(x)(x−a) =f(a)

Ainsi,f est continue ena. On a choisiaquelconque dansIdoncf est continue surI.

Th éor ème 6.2 (Cons équence) Une fonction obtenue par op érationsâ sur les fonctions usuelles est continue sur chaque intervalle o ù elle est d éfinie.

Ainsi, les fonctions polyn ômes, rationnelles, trigonom étriques et d éfinies par des racines carr ées sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de d éfinition.

a. somme, diff´erence, produit, quotient, composition...

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D émonstration Les fonctions usuelles sont d érivables sur leur ensemble de d éfinition (sauf pour la fonction racine carr ée en0) elles sont donc continues sur leur ensemble de d éfinition.

On montre à l’aide de la d éfinition d’une limite la continuit é de la fonction racine carr ée en0.

Remarque 6.1 (Attention !) La r éciproque du th éor ème 6.1 est fausse. Par exemple la fonction racine carr ée est continue en 0 mais non d érivable en0. C’est aussi le cas de la fonction valeur absolue en0¹.

2. Valeurs interm ´ediaires

A. Th éor ème des valeurs interm édiaires

Th éor ème 6.3 (des valeurs interm édiaires) Soitf une fonctioncontinuesur un intervalle[a;b].

Pour toutmcompris entref(a)etf(b), il existeα∈[a;b]tel quef(α) =m.

On dira quel’image continue d’un intervalle est un intervalle.

~i

~j

a b

f(a) f(b)

x1 x2 x3

m

Figure 1

~i

~j

a b

f(a) f(b)

x1

m

Figure 2

~i

~j

a b

f(a) f(b)

x1

m

Figure 3

Remarque 6.2 Si la fonctionf est continue mais non strictement monotone sur[a; b], l’ équationf(x) =m admet au moins une solution pour toute valeur demcomprise entref(a)etf(b), mais elle n’est pas n écessairement unique (voir figure 1 ci-dessus : l’ équation a trois solutions).

B. Le cas des fonctions monotones

Th éor ème 6.4 (Corollaire dans le cas monotone) Sif est continue et strictement monotone sur[a;b], alorsâ:

• f([a;b]) = [f(a) ;f(b)](sif est croissante) ou[f(b) ;f(a)](sinon) ;

• pour toutmcompris entref(a)etf(b), l’ ´equationf(x) =madmetune et une seulesolution dans l’intervalle[a;b].

a. festbijective(”correspondance un à un entre les images et les antécédents”, donc la valeurma un antécédentunique

D ´emonstration On suppose la fonctionf strictement croissante surI= [a;b], ainsif(a)< f(b)(sia6=b).

Montrons quef(I) = [f(a) ;f(b)](f(I)est l’ensemble desf(x)avecx∈[a; b]) :

Pour tout r ´eelxdansIon aa≤x≤betf croissante doncf(a)≤f(x)≤f(b); doncf(x)∈[f(a) ; f(b)].

R éciproquement, soity∈[f(a) ;f(b)], d’apr ès le th éor ème 6.3, il existe au moins unc∈[a;b]tel que f(c) =y; doncy∈f(I).

Finalement on a montr ´e quef(I)⊂[f(a) ;f(b)]et[f(b) ; f(a)]⊂f(I). Doncf(I) = [f(a) ;f(b)].

Enfin,f ´etant strictement croissante, deux nombres distincts ont des images distinctes donc l’ ´equation f(x) =madmet une unique solution surI.

Remarque 6.3 Quand on est dans la situation du th éor ème 6.4, on dit quef r éalise une bijection de[a;b]

surf([a;b]).

Remarque 6.4 Par convention, dans un tableau de variation, les fl `eches obliques traduisent :

1. Il existe même des fonctions continues sur un intervalle et nulle-part dérivable sur cet intervalle, mais là ¸ca dépasse un peu le programme de TS. . . Un exemple d’une telle fonction est la fonction deWeierstrassdéfinie parf(x) =P∞

n=0aⁿcos(bⁿπx) avec 0< a <1 etab >1.

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• la continuit é de la fonction sur l’intervalle consid ér é ;

• la stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle.

Exemple 6.2 Soitf la fonction d éfinie sur[0 ; 9]parf(x) =√x+ 2. D émontrer que l’ équationf(x) = 3admet une unique solution dans[0 ; 9].

La fonctionf est strictement croissante sur[0 ; 9]car la fonction racine carr ´ee l’est. Par ailleurs,f est une fonction continue sur[0 ; 9]. De plusf(0) = 2etf(9) = 5.

Ainsi,3∈[f(0) ;f(9)], donc d’apr ès le th éor ème de la valeur interm édiaire, l’ équationf(x) = 3admet une et une seule solution dans l’intervalle[0 ; 9].

Exemple 6.3 Soitf une fonction d éfinie sur[0 ; 7]dont on donne le tableau de variation. D éterminer le nombre de solutions de l’ équationf(x) =√

2.

x 0 2 4 7

f(x)

4&0

&−2%3 R ´eponse :

• D’apr `es le tableau de variation def, sur l’intervalle[0 ; 4]la fonctionf est continue et strictement d ´ecroissante. De plus√

2∈[f(4) ;f(0)]donc d’apr ès le th éor ème de la valeur interm édiaire, l’ équation f(x) =√

2admet une unique solution dans[0 ; 4].

• D’apr `es le tableau de variation def, sur l’intervalle[4 ; 7]la fonctionf est continue et strictement croissante. De plus√

2∈[f(4) ;f(7)]donc d’apr ès le th éor ème de la valeur interm édiaire, l’ équation f(x) =√

2admet une unique solution dans[4 ; 7].

Finalement l’ ´equationf(x) =√

2admet deux solutions dans[0 ; 7]. On pourrait m ˆeme montrer que la solution la plus petite est dans[0 ; 2], et l’autre dans[4 ; 7].

C. Compl ément du th éor ème de la valeur interm édiaire

Le théorème 6.4 de la valeur intermédiaire peut s’étendre à une fonction continue strictement monotone sur un intervalle ouvert même non borné en utilisant les limites def aux bornes de cet intervalle.

Exemple 6.4 Soitf une fonction dont on donne le tableau des variations ci-apr `es. Montrer que l’ ´equation f(x) = 0admet une unique solution surR.

x −∞ −2 1 +∞

f −3 %−1

&−∞ −∞% 4 R´eponse :

• sur l’intervalle ]− ∞; 1[, d’apr`es les variations,f(x)≤ −1 donc l’´equation n’a pas de solution ;

• sur ]1 ; +∞[, la fonctionf est continue, strictement croissante et on a :

x→lim1;x>1f(x) =−∞; lim

x→+∞f(x) = 4

Enfin, 0∈]− ∞; 4[ donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, l’équationf(x) = 0 admet une unique solution sur ]1 ; +∞[.

Finalement, l’´equationf(x) = 0 admet une unique solution surR.

D. Application : recherche de solution approch ´ee par dichotomie

Dichotomie vient du grec et signifie^≪couper en deux^≫.

Objectif :trouver une valeur approch´ee def(x) = 0 sur [a;b] avecf continue et strictement croissante sur [a;b] o`uf(a)<0 etf(b)>0.

On posec= ^a+b₂ . Sif(c)<0 la solution sera dans [c;b] sinon elle sera dans [b;c].

Et on recommence en posantd=^c+b₂ (ou â+c₂ suivant le cas de l’étape précédente).

On ´etudie le signe def(d) . . ..

Remarque 6.5 Cette m éthode permet d’obtenir un encadrement de la solution de plus en plus pr écis (on divise par deux l’amplitude de cet encadrement à chaque étape), en ne faisant qu’un seul nouveau calcul à chaque étape.

(5)

1 Entr´ees : l’expressionf(x);

2 un entieratel quef(a) etf(a+ 1) soient de signes contraires;

3 le nombre nde chiffres après la virgule souhaités pour la solution approchée;

4 d´ebut

5 b←(a+ 1);

6 tant queb−a <10⁻ⁿ faire

7 sif(a) etf(b) sont de mˆeme signealors

8 a←^a+b2 ;

9 sinon

10 b← ^a+b2 ;

11 R´esultat: la solution cherch´ee est dans [a;b]

Algorithme 3 :Résolution approchée par dichotomie de l’équationf(x) = 0

3. Application aux suites : un th ´eor `eme du point fixe

On a admis au chapitre 5 le th´eor`eme 5.2 suivant :

Soituune suite num´erique de limiteαet soitf une fonction num´erique telle quef(un) existe pour toutn∈N avec lim

x→αf(x) =:ℓ. Alors on a lim

n→+∞f(un) =ℓ.

La notion de continuité nous permet d’établir un théorème dit ”du point fixe” (il en existe d’autres, que vous découvrirez après le Bac), très utile pour trouver un ou plusieurs ”candidat(s) limite” pour une suite :

Propri ´et ´e 6.1 Si la suite(un)converge versℓet si la fonctionf est continue enℓ, alors :

n→lim+∞f(un) =f(ℓ)

Th éor ème 6.5 Soientf une fonction num érique et(un)une suite d éfinie par la relation de r écurrence : un+1 = f(un). Si (un) converge vers une limite ℓ et si f est continue en ℓ, alors la limite ℓ v érifie la relation :

f(ℓ) =ℓ

Attention ! ! ! Ce th´eor`eme ne donne pas la convergence de la suite ! ! !

M éthode On montre d’abord que(un)converge, par exemple parce qu’elle est croissante et major ée, ou d écroissante et minor ée, puis quef est continue. Ensuite on r ésout l’ équationf(ℓ) =ℓ, qui nous donne un ou plusieurs ”candidats” pour la limite ℓde(un). Graphiquement, r ésoudre cette équation revient à chercher les abscisses des points d’intersection deC_f avec la1^rediagonale (droite d’ équationy=x).

Pour d ´emontrer que ce candidat est (ou n’est pas) la limite de(un), on ´etudie la limite deun−ℓlorsque n→+∞, en essayant de montrer que c’est0.

D ´emonstration On sait que lim

n→+∞un =ℓ.

De plus,f est continue enℓdonc, par d éfinition de la continuit é et d’apr ès le th. 5.2, lim

un→ℓf(un) =f(ℓ), i.e.

n→lim+∞un+1=f(ℓ), ou encore lim

n→+∞un =f(ℓ).

Par ailleurs, lim

n→+∞un=ℓ, doncf(ℓ) =ℓ.