LeTh´eor`emed’Ehrhart Universit´eGrenoble-Alpes

Universit´ e Grenoble-Alpes

Institut Fourier

Master 1

Le Th´ eor` eme d’Ehrhart

Auteur :

H´ el` ene Chakroun

Encadrant : Emmanuel Peyre

22 mai 2017

LE TH´EOR`EME D’EHRHART

CHAKROUN H ´EL `ENE

22 mai 2017

R´esum´e. Le th´eor`eme d’Ehrhart fournit une fonction de comp- tage polynomiale (et donc relativement simple) des ´el´ements d’un r´eseau euclidien de dimension finie se trouvant `a l’int´erieur d’un polytope ferm´e construit sur ce r´eseau. Cette fonction a d’autres caract´eristiques remarquables, la fonction de r´eciprocit´e permet notamment de compter les points de l’int´erieur strict du mˆeme polytope. Quant au terme constant du polynˆome, il est li´e `a un invariant topologique : la caract´eristique d’Euler-Poincar´e.

Table des mati`eres

1. Contexte et ´enonc´e 2

2. Cas de la dimension 2 2

3. Preuve pour un simplexe 7

3.1. Existence de f_P polynomiale 7

3.2. Loi de r´eciprocit´e 9

4. Polynˆome de Ehrhart 11

4.1. Subdivision par des simplexes entiers 11 4.2. Polynˆome de Ehrhart et coefficient dominant 12 5. Caract´eristique d’Euler-Poincar´e, coefficient constant et loi

de r´eciprocit´e 12

5.1. Coefficient constant 12

5.2. Loi de r´eciprocit´e 23

1

1. Contexte et ´enonc´e

On se place dans l’espace euclidien R^m, contenant le r´eseau (sous groupe discret de rang fini) Z^m. L’enveloppe convexe P d’un ensemble fini S ⊂ Z^m est appel´ee polytope entier. C’est un sous ensemble com- pact de R^m. Le volume normalis´e d’un polytope entier est pris pour que le volume d’une maille du r´eseau soit ´egal `a 1. Le th´eor`eme de Ehrhart concerne l’application de comptage des points entiers dans les homoth´etiques de P :

fP(N ) = Card((N P) ∩ Z^m)

Th´eor`eme 1 (Ehrhart). Si S engendre R<sup>n</sup> comme espace affine (avec n 6 m), N 7→ f<sup>P</sup>(N ) est polynomiale de degr´e n pour N > 1. Son coefficient dominant est le volume normalis´e de P, not´e V (P), et son coefficient constant est ´egal `a 1. De plus fP(0) = 1 et on a la relation ( loi de r´eciprocit´e ) pour tout N > 1 :

fP(−N ) = (−1)^mCard((N ˚P) ∩ Z^m) o`u ˚P d´esigne l’int´erieur de P.

2. Cas de la dimension 2

Lorsque m = 2, on peut expliciter facilement le polynˆome de Ehrhart grˆace `a la formule de Pick qui donne l’aire d’un polygone (i.e. son volume V (P) en dimension 2) en fonction de fP(N ) et du nombre de points sur le bord de P.

D´efinition 2. Un polygone simple est un compact du plan euclidien dont le bord est la r´eunion de d segments ([A_i, A_i+1])_i∈

J0,d−1K, avec A_d= A₀, et tels que si i et j sont dans J0, d − 1K,

[A_d−1, A_d] ∩ [A₀, A₁] = {A₀}

[A_i, A_i+1] ∩ [A_j, A_j+1] =











[A_i, A_i+1] si i = j {A_i} si i = j + 1 {A_i+1} si i = j − 1

∅ sinon.

et pour tout i ∈J0, d − 1K, Aⁱ ∈ [A/ i−1Ai+1].

Th´eor`eme 3 (Formule de Pick.). Soit P un polygone simple `a sommets entiers poss´edant iP = Card( ˚P ∩ Z²) points entiers int´erieurs et bP = Card(∂P ∩ Z²) points entiers sur son bord. L’aire aP du polygone (i.e.

son volume V (P) en dimension 2) est alors donn´ee par la relation :

(*) a_P = i_P+ bP

2 − 1

La preuve repose sur l’existence d’une triangulation de tout polygone simple. Cet algorithme est simple pour un polygone convexe.

Th´eor`eme 4. Tout polygone convexe `a sommets entiers est la r´eunion de triangles `a sommets entiers dont les int´erieurs sont disjoints.

D´emonstration. Soit S un ensemble fini de points de Z². P = Conv(S) est un polygone convexe. Il existe une famille minimale de sommets (si)_i∈

J1,rK ⊂ S^r telle que P = Conv((si)_i∈

J1,rK).D’apr`es le th´eor`eme de Hahn-Banach, le polygone convexe P est enti`erement contenu dans un demi plan ferm´e dont s<sub>1</sub> est sur le bord. Quitte `a les r´eordonner, on peut supposer que s₂, ..., s_r sont class´es de fa¸con `a ce que i ∈J2, rK 7→

arg(z^−−→_s1si) ∈ [arg(z^−−→_s1s2), arg(z^−−→_s1s2) + π] soit strictement croissante.

S6

S1 S7

S5

S4

S3

S2

Le polygone P est alors la r´eunion des triangles ∆i = s1sisi+1 pour i ∈ J2, r − 1K. De plus, si i, j ∈ J2, r − 1K, i 6= j , alors ∆˚_i∩ ˚∆_j est vide car soit ∆_i∩ ∆_j = ∅, soit j = i + 1 et ∆_i ∩ ∆_j = [s₁s_i+1] et est donc d’int´erieur vide ( cf. ˚∆_i∩ ˚∆_j ⊂ ˚

∆˝_i∩ ∆_j ) . 

Un algorithme simple et intuitif, bien que non optimal, permet de triangulariser un polygone simple quelconque. C’est un proc´ed´e it´eratif.

Soit P un polygone simple. On reprend les notations de la d´efinition pour ses d sommets.

On suppose d > 4. Il existe i0 ∈ J1, dK, tel que le sommet Ai0 sorte de P, i.e. si r = min_i,j∈

J1,dK,i6=jdist(Ai, Aj) > 0 alors P ∩ B(Ai0,₂^r) est convexe. Quitte `a renum´eroter les sommets, on peut prendre i0 = 1.

Consid´erons C = {i ∈ J1, dK | Aⁱ ∈ Conv(A₀, A₁, A₂)}. Si C est vide, alors le triangle Conv(A₀, A₁, A₂) est inclus dans P : le polygone de sommets (A_i)_i∈

J2,dK est encore un polygone simple et on peut r´eit´erer.

Sinon, l’ensemble D = {dist(A_i, (A₀A₂)) | i ∈ C} admet un ´el´ement maximal δ_m. Si I = {i ∈ C | dist(A_i, (A₀A₂)) = δ_m}, consid´erons i_m ∈ I. Le segment [A₁A_im] est alors inclus dans P : supposons, par l’absurde, que [A₁A_im] ∩ (R²\ P) 6= ∅, soit t₀ = sup{t ∈]0, 1] | [A₁, A₁+ t−−−−→

A₁A_im] ⊂ P}. On remarque que l’hypoth`ese implique t₀ < 1. P est ferm´e, donc A1 + t0

−−−−→

A1Aim ∈ ∂P = ^S_i∈

J1,dK[AiAi+1]. Soit i1 tel que

A₁+ t₀−−−−→

A₁A_im ∈ [A_i1A_i1+1]. On obtient que dist(A_i1, (A₀A₂)) > δ_m ou dist(A_i1+1, (A₀A₂)) > δ_m (l’un des deux au moins est plus ´eloign´e de (A₀A₂) que A₁+ t₀−−−−→

A₁A_im qui v´erifie dist(A₁+ t₀−−−−→

A₁A_im, (A₀A₂)) > δ_m).

Ceci contredit la maximalit´e de δ_m et conclut le raisonnement par l’absurde. P est donc la r´eunion des polygones simples de sommets (Ai)i∈J1,i^mK et (Ai)i∈Ji^m,d+1K (o`u Ad+1 = A1). l’intersection de ces poly- gones est [A<sub>1</sub>A<sub>im</sub>] ⊂ P, et leur nombre de sommets est strictement inf´erieur `a celui de P. En it´erant cet algorithme sur les polygones simples obtenus tant qu’ils poss`edent au moins 4 sommets, on d´ecoupe P en triangles (d = 3) dont les sommets sont parmi ceux de P.

A0

A1 A2

A7

Si la propri´et´e (*) est vraie pour chaque sous triangle de P, on montre par une r´ecurrence identique `a celle trait´ee dans la suite (dans le pre- mier cas de l’h´er´edit´e) qu’elle est vraie pour le polygone entier.

Il reste `a prouver la formule (*) pour un triangle ∆ quelconque. On peut proc´eder par r´ecurrence sur le nombre l_∆ = i_∆+b_∆. L’initialisation se fait avec l_∆= i_∆ = 3 et repose sur le lemme suivant :

Lemme 5 (Th´eor`eme de Pick). Tout triangle `a sommets entiers conte- nant exactement 3 points entiers est isom´etrique au triangle

∆₂ = Conv(0_Z², e₁, e₂).

En particulier, son aire est ¹₂. Notations 6. (e_i)_i∈

J1,mK d´esigne la base usuelle de R^m.

D´emonstration. Soit ∆ un triangle `a sommets entiers tel que l_∆ = 3.

On peut se ramener par translation `a consid´erer que ses sommets sont de coordonn´ees (0<sub>Z</sub><sup>2</sup>, v, w) ∈ (Z<sup>2</sup>)<sup>3</sup>. L’image de ∆ par la r´eflection r : x 7→ v+w−x ne contient comme points de Z<sup>2</sup>que les images v+w, w et v de 0, v et w respectivement. Le parall´elogramme Conv(0, v, w, v + w) contient donc exactement 4 points `a coordonn´ees enti`eres. On peut paver R<sup>2</sup> par translations enti`eres selon v et w : l’application φ : k1e1+

k₂e₂ ∈ Z² 7→ k₁v + k₂w ∈ Z² est un automorphisme lin´eaire de Z², et donc de d´eterminant det(φ) ∈ ±1. ∆ et ∆₂ sont donc isomorphes et de

mˆeme aire ¹₂. 

On a bien si l_∆ = 3, a_∆ = ¹₂ = 0 + ³₂ − 1, et donc la formule (*) est v´erifi´ee au rang d’initialisation.

On prend maintenant un triangle ∆ `a sommets entiers, tel que l_∆ > 4 et on suppose (*) v´erifi´ee par tout triangle ∆⁰ tel que l∆⁰ < l∆. Deux cas sont alors possibles :

Cas n^o1 : b_∆ > 4. On peut d´ecouper ∆ en deux sous triangles `a sommets entiers T<sub>1</sub> et T<sub>2</sub> suivant une corde qui joint un point entier d’un bord qui n’est pas un sommet (qui existe d’apr`es l’hypoth`ese) et le sommet oppos´e.

T₁ et T₂ v´erifient (*), donc on a : aT1 = iT1 + bT1

2 − 1 et aT2 = iT2 + bT2

2 − 1 avec les notations de la formule.

Soit i_ le nombre de points `a coordonn´ees enti`eres sur l’int´erieur relatif de la corde T₁ ∩ T₂. Les points entiers dans l’int´erieur strict de

∆ sont ceux de T₁ et T₂, ainsi que ceux se trouvant ´eventuellement sur la corde T₁∩ T₂. En comptant les points entiers du bord de T₁ et de T₂, on rajoute `a b_∆ deux fois le nombre i_ de points entiers de l’int´erieur relatif de T₁∩ T₂, et on compte deux fois les extr´emit´es de cette mˆeme corde. On peut donc ´ecrire les relations suivantes :

i_∆ = iT₁ + iT₂ + i_ et b_∆= bT₁ + bT₂ − 2i_− 2 On obtient finalement :

a∆= aT1 + aT2

= iT₁ + iT₂ +1

2(bT₁ + bT₂) − 2

= i_∆− i_+ 1

2(b_∆+ 2i_+ 2) − 2

= i_∆+ b_∆ 2 − 1.

Cas n^o2 : i_∆ > 1. On d´ecoupe ∆ en trois trangles `a sommets entiers T₁, T₂ et T₃ d´elimit´es par les segments joignant un point de l’int´erieur de ∆ aux 3 sommets du triangle.

Ces 3 triangles v´erifient (*) par hypoth`ese de r´ecurrence, et on proc`ede de mˆeme que dans le cas n^o1 : soit i_12, i_13 et i_23 les nombres respectifs de points `a coordonn´ees enti`eres des int´erieurs relatifs des segments T₁∩ T₂, T₁∩ T₃ et T₂∩ T₃. Les points entiers strictement int´erieurs `a ∆ sont ceux strictement int´erieurs aux 3 triangles, se trouvant sur l’une des intersections de ceux ci deux `a deux (i.e. l’int´erieur relatif d’une corde) ou le point entier concourrant des 3 cordes. En sommant les points du bord des 3 sous triangles, on r´ep`ete 3 fois le point concour- rant des cordes, deux fois les points entiers des int´erieurs relatifs des cordes et deux fois (donc une fois de trop) les 3 sommets du triangle.

On peut donc ´ecrire :

i_∆= iT₁ + iT₂+ iT₃ + i_12+ i_13+ i_23 + 1

et b_∆ = bT₁ + bT₂ + bT₃ − 2(i_12+ i_13+ i_23) − 6 D’o`u le r´esultat :

a_∆= aT1 + aT2 + aT3

= iT₁ + iT₂ + iT₃ + 1

2(bT₁ + bT₂ + bT₃) − 3

= i_∆− (i_12 + i_13 + i_23+ 1) + 1

2(b_∆+ 2(i_12 + i_13+ i_23) + 6) − 3

= i∆+ b∆

2 − 1.

Ceci conclut la r´ecurrence, et donc la preuve de la formule de Pick.

De cette formule on d´eduit le th´eor`eme de Ehrhart en dimension 2 par les relations :

∀N ∈ N, aN P = N²a_P bN P = N bP

On trouve ainsi :

fP(N ) = iN P + bN P

= a_{N P} + b_{N P}

2 + 1 d’apr`es (*)

= N²aP +N

2bP+ 1.

3. Preuve pour un simplexe

Prenons P un simplexe de sommets s₀, ..., s_n ( i.e. P est l’enveloppe convexe Conv(s0, .., sn) et dim(P) = n ).

3.1. Existence de f_P polynomiale. Notons Π le sous ensemble de Z^m× Z d´efini par :

Π = {(q, N ) ∈ Z^m× Z | ∃(ti)_i∈

J0,nK ∈ [0, 1[ⁿ⁺¹,

n

X

i=0

t_i(s_i, 1) = (q, N )}

Figure 1. Points de Π en dimension n = 2 pour le simplexe (triangle) dessin´e ci-contre.

Consid´erons la s´erie formelle : FP(z) =

∞

X

N =0

fP(N )z^N = ^X

N ∈N,q∈(Z^m∩N P)

z^N D´emontrons que l’application :

Φ : Π × Nⁿ⁺¹→ ^G

N ∈N

(Z^m∩ N P) × {N }

((q₀, N₀), (x_i)_i∈

J0,nK) 7→ (q₀+

n

X

i=0

x_is_i, N₀+

n

X

i=0

x_i) est une bijection.

En effet, tout ´el´ement de P s’´ecrit de mani`ere unique comme^Pn_i=0u_is_i, avec (u_i)_i∈

J0,nK∈ Rⁿ⁺¹+ et ^Pn_i=0u_i = 1. On a donc : N P = {

n

X

i=0

N u_is_i| (u_i)_i∈

J0,nK∈ Rⁿ⁺¹+ ,

n

X

i=0

u_i = 1}

= {

n

X

i=0

t_is_i| (t_i)_i∈

J0,nK∈ Rⁿ⁺¹+ ,

n

X

i=0

t_i = N }.

Soit N ∈ N et q = ^Pni=0tisi ∈ Z^m∩N P avec (ti)i∈J0,nK∈ Rⁿ⁺¹+ et^Pn_i=0ti = N . Cette ´ecriture de q comme barycentre `a coefficients positifs des (s_i)_i∈

J0,nK est unique. Posons ∀i ∈J0, nK, xⁱ = bt_ic, N₀ = N −^Pn_i=0x_i ( n´ecessairement un entier positif ) et q₀ =^Pn_i=0(t_i− x_i)s_i : (q₀, N₀) ∈ Π.

((q₀, N₀), (x_i)_i∈

J0,nK) est l’unique ant´ec´edent de (q, N ) par Φ. les en- tiers x_i doivent en effet v´erifier t_i − x_i ∈ [0, 1[, ∀i ∈ J0, nK, soit donc x_i 6 ti < x_i+ 1 pour tout i, et sont donc ´egaux aux parties enti`eres des t_i. L’existence et l’unicit´e d’un ant´ec´edent pour tout N ∈ N implique la bijectivit´e de Φ.

On peut donc r´e´ecrire FP ainsi :

FP(z) = ^X

(q0,N0)∈Π,(xi)_i∈J0,nK∈Nⁿ⁺¹

z^N0+Pni=0xi

= ^X

(q0,N0)∈Π,(xi)i∈J0,nK∈Nⁿ⁺¹

z^N0

n

Y

i=0

z^xi

= ^X

(q0,N0)∈Π

z^N0

Ö

X

(xi)i∈J0,nK∈Nⁿ⁺¹ n

Y

i=0

z^xi

è

= ^X

(q0,N0)∈Π

z^N0

n

Y

i=0

Ñ X

xi∈N

z^xi

é

= ^X

(q0,N0)∈Π

z^N0

n

Y

i=0

1 1 − z

= ^X

(q0,N0)∈Π

z^N0 (1 − z)ⁿ⁺¹

On remarque que, pour tout (q, N ) ∈ Π, on a 0 6 N < n + 1 et si N = 0, alors q = 0_Z^m. On a donc :

FP(z) = 1

(1 − z)ⁿ⁺¹(δ₀ + δ₁z + ... + δ_nzⁿ) et δ₀ = 1

F_P(z) est le produit de 2 s´eries :^Pn_k=0δ_kz^ket_(1−z)¹n+1 =^P∞_k=0^Än+k_n ^äz^k, o`u ^Äk+n_n ^ä=

Qn j=1(k+j)

n! .On trouve : fP(N ) =

n

X

k=0

δ_k N + n − k n

!

On note que fP(0) = 1 et fP(N ) est un polynˆome de degr´e n en N ∈ N^∗

3.2. Loi de r´eciprocit´e. Notons Π⁰ le sous ensemble de Z^m× Z d´efini par :

Π⁰ = {(q, N ) ∈ Z^m× Z | ∃(tⁱ)_i∈

J0,nK∈]0, 1]ⁿ⁺¹,

n

X

i=0

ti(si, 1) = (q, N )}

Figure 2. Π⁰ en dimension m = 2.

Introduisons la s´erie formelle : F_P˚(z) =

∞

X

N =1

Card((N ˚P) ∩ Z^m)z^N L’application :

Ψ : Π⁰× Nⁿ⁺¹→ ^G

N ∈N

(Z^m∩ N ˚P) × {N }

((q₀, N₀), (x_i)_i∈

J0,nK) 7→ (q₀+

n

X

i=0

x_is_i, N₀+

n

X

i=0

x_i)

est encore une bijection. En effet, puisque les (s_i)_i∈

J0,nK forment une base affine de Rⁿ, tout ´el´ement q de ˚P s’´ecrit de mani`ere unique comme

Pn

i=0u_is_i, avec (u_i)_i∈

J0,nK ∈ (R+)ⁿ⁺¹ et^Pn_i=0u_i = 1, et u_i 6= 0 pour tout i ∈J0, nK (s’il existe i ∈ J0, nK tel que uⁱ = 0, alors q ∈ ∂P). D’o`u :

N ˚P = {

n

X

i=0

N u_is_i| (u_i)_i∈

J0,nK∈ (R^∗+)ⁿ⁺¹,

n

X

i=0

u_i = 1}

= {

n

X

i=0

t_is_i| (t_i)_i∈

J0,nK ∈ (R^∗+)ⁿ⁺¹,

n

X

i=0

t_i = N }

Π⁰ est l’image de Π par la sym´etrie de centre (¹₂(s₀+ ... + s_n),ⁿ⁺¹₂ ) : Z^m× Z → Z^m× Z

(q, N ) 7→ (s₀+ ... + s_n− q, n + 1 − N )

Par un raisonnement analogue `a celui des pages 7 et 8, on a l’´egalit´e : FP˚(z) = ^X

(q,N )∈Π⁰

z^N (1 − z)ⁿ⁺¹

= ^X

(q,N )∈Π

z^n+1−N

(1 − z)ⁿ⁺¹ par la sym´etrie.

Or,

X

(q,N )∈Π

z^n+1−N = z^{n+1 X}

(q,N )∈Π

(1

z)^N = zⁿ⁺¹

n

X

i=0

δ_i(1 z)^N =

n

X

i=0

δ_iz^n+1−N Donc

FP˚(z) =

n

X

i=0

δi

z^n+1−N (1 − z)ⁿ⁺¹

FP˚(z) est le produit de 2 s´eries :^Pn+1_i=1 δ_n+1−izⁱ et^P∞_k=0^Än+k_n ^äz^k. Tou- jours avec δk = 0, ∀k > n on trouve :

Card((N ˚P) ∩ Z^m) =

N

X

i=0

δ_n+1−i n + N − i n

!

=

n+1

X

i=1

δ_n+1−i n + N − i n

!

=

n

X

k=0

δ_k N + k − 1 n

!

Or, ∀N ∈ N, fP(−N ) =

n

X

k=0

δk

Qn

j=1(−N − k + j) n!

= (−1)ⁿ

n

X

k=0

δ_k

Qn

j=1(N + k − j)

n! = (−1)ⁿ

n

X

k=0

δ_k N + k − 1 n

!

D’o`u la loi de r´eciprocit´e.

4. Polynˆome de Ehrhart 4.1. Subdivision par des simplexes entiers.

D´efinition 7. On appelle int´erieur (formel ou relatif) d’un compact convexe D de R^m, et l’on note D⁰, l’int´erieur topologique de D dans le sous-espace affine Aff(D) de R^m qu’il engendre. Le bord (formel) de D, not´e ∂D, est son bord topologique dans Aff(D), c’est-`a-dire le sous- ensemble D \ D⁰. La dimension de D, not´ee dim(D), est la dimension de Aff(D).

Proposition 8. Tout polytope entier P admet une subdivision en une famille finie K = (S_j)_j∈J de simplexes entiers v´erifiant :

(i) Si F est une face de S_j, pour un j ∈ J , alors il existe k dans J tel que F = S_k.

(ii) ∀k, j ∈ J , k 6= j, S_j ∩ S_k est vide ou est une face de S_j et S_k. (iii) P est la r´eunion disjointe des int´erieurs relatifs S_j⁰ des S_j. D´emonstration. On proc`ede par r´ecurrence sur la dimension n d’un polytope entier.

En dimension 2, on a montr´e que l’on peut d´ecomposer un polygone convexe en triangles (simplexes de dimension 2), segments (simplexes de dimension 1) et points (dimension 0).

Soit maintenant P un polytope entier de dimension n ∈J3, mK fix´ee.

Supposons que tout polytope entier Q de dimension inf´erieure ou ´egale

`

a n − 1 admette une subdivision en une famille finie K = (S_j)_j∈J de simplexes entiers v´erifiant les 3 points de la proposition.

Une face de P est une intersection non vide P ∩ H de P avec un hyperplan H de R^m tel que P soit contenu dans un des demi-espaces d´elimit´es par H.Toute face F de P est un polytope entier de dimension 6 n − 1, dont les sommets ( i.e. les faces de dimension 0 ) sont parmi les sommets de P.Si P est l’enveloppe convexe de S ⊂ Z^m finie, alors l’ensemble S_min des sommets de P est contenu dans S et P est l’en- veloppe convexe de ses sommets. Choisissons maintenant s un sommet de P. Notons F₁, ..., F_r les faces de P ne contenant pas s, et F₁⁰, ..., F_r⁰ leurs int´erieurs relatifs. En appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence `a ces faces ( qui sont des polytopes entiers de dimension 6 n − 1 ), on en obtient une subdivision en des familles finies de simplexes ouverts dont les sommets sont dans S_min. P est la r´eunion disjointe de {s}, Conv({s} ∪ F₁⁰) \ {s}, ..., Conv({s} ∪ F_r⁰) \ {s}, et donc la r´eunion dis- jointe de {s} et des simplexes ouverts Conv({s} ∪ S_i⁰) \ {s, S_i⁰} et S_i⁰, o`u S_i est un simplexe (ferm´e) de la subdivision des (F_i)_i∈

J1,rK.



4.2. Polynˆome de Ehrhart et coefficient dominant. Si K = (S_j)_j∈J est une subdivision de P en simplexes d’int´erieurs relatifs S_j⁰ disjoints, on peut ´ecrire :

Card((N P) ∩ Z^m) = ^X

j∈J

Card((N S_j⁰) ∩ Z^m)

Les simplexes S_j v´erifiant la loi de r´eciprocit´e, on obtient que fP est une fonction polynomiale de N s’´ecrivant :

fP(N ) =^X

j∈J

(−1)^dim(Sj)f_Sj(−N ).

On note maintenant

f_P(N ) = a₀(P) + a₁(P)N + ... + a_n(P)Nⁿ Pour N > 0, on a :

fP(N ) = Card((N P) ∩ Z^m) = Card(P ∩ 1

NZ^m) = ^X

q∈P∩_N¹Z^m

1 On en d´eduit que N⁻ⁿfP(N ) est une somme de Riemann convergeant vers^R_Pdx = V (P). Mais fP´etant de degr´e n, N⁻ⁿfP(N ) tend ´egalement vers le coefficient dominant a_n(P) de fP, qui est donc bien ´egal `a V (P).

5. Caract´eristique d’Euler-Poincar´e, coefficient constant et loi de r´eciprocit´e

5.1. Coefficient constant. Le coefficient constant de fP donn´e par une subvivision en simplexes K = (Sj)j∈J est

a₀(P) =

n

X

i=0

(−1)^dim(Si) On peut r´e´ecrire cette expression sous la forme

a₀(P) =

n

X

i=0

(−1)ⁱc_i

o`u c_i d´esigne le nombre de simplexes de dimension i dans la subdivision K de P.

On va d´emontrer que cette expression satisfait 3 axiomes, qui d´efinissent la caract´eristique d’Euler-Poincar´e χ(X) d’un polytope fini X de mani`ere unique.

Premier axiome : Si X est r´eduit `a un point, alors χ(X) = 1.

L’expression que l’on a du coefficient constant de fPv´erifie clairement cette propri´et´e.

D´efinition 9. Un complexe dans un espace euclidien R^m est un en- semble K de polytopes convexes compacts de R^m tel que :

(i) si D₁ et D₂ sont deux polytopes convexes compacts distincts appartenant `a K, alors les int´erieurs D₁⁰ et D₂⁰ sont disjoints ; (ii) si D ∈ K, le bord formel ∂D ⊂ R^m est r´eunion d’autres poly-

topes convexes compacts de K ;

(iii) si x ∈ D ∈ K, il existe un voisinage U de x dans R^m tel que U ne rencontre qu’un nombre fini de polytopes convexes compacts de K

La dimension maximale d’un polytope convexe compact de K est ap- pel´ee dimension de K. On appelle sous-complexe de K tout complexe constitu´e d’´el´ements de K. ´Etant donn´e un polytope convexe com- pact D ∈ K on appelle hyperface de D toute face de D de dimension dim(D) − 1 dans K (contenue dans ∂D).

D´efinition 10. Un complexe K est dit simplicial si toute cellule D ∈ K est un simplexe et si chaque cellule D⁰ ⊂ D constitue une face enti`ere du simplexe D.

Remarque 11. Une subdivision K d’un polytope entier est un complexe simplicial.

Deuxieme axiome : χ est additif : Si K1, K₂ sont deux sous com- plexes d’un complexe fini K, alors

χ(|K₁∪ K₂|) = χ(|K₁|) + χ(|K₂|) − χ(|K₁ ∩ K₂|)

Pour a₀(P), cela d´ecoule du fait que le nombre total de faces de dimension i dans K₁∪ K₂ est ´egal `a la somme des nombres de i-faces de K₁ et K₂ moins celui de leur intersection K₁ ∩ K₂, que l’on avait compt´ee 2 fois en sommant.

On d´efinit maintenant certaines notions intervenant dans le troisi`eme axiome.

D´efinition 12. ´Etant donn´es deux espaces topologiques X et Y , deux applications continues f et g de X dans Y sont dites homotopes s’il existe une application continue H : [0, 1] × X → Y dont les restrictions x 7→ H(0, x) et x 7→ H(1, x) co¨ıncident respectivement avec f et g. On dit que H est une homotopie entre f et g.

Remarque 13. Il est clair que, deux espaces topologiques X et Y ´etant fix´es, l’homotopie d´efinit une relation d’´equivalence sur l’ensemble des applications continues de X dans Y .

D´efinition 14. On dit que les espaces X et Y sont homotopiquement

´

equivalents, ou ont le mˆeme type d’homotopie, s’il existe deux applica- tions continues f : X → Y et g : Y → X telles que la compos´ee f ◦ g est homotope `a Id<sub>X</sub> et la compos´ee g ◦ f est homotope `a Id_Y. On dit alors que les applications f et g sont des ´equivalences d’homotopie.

Troisieme axiome : χ est un invariant d’homotopie : Si X et X⁰ ont le mˆeme type d’homotopie, χ(X) = χ(X⁰).

Pour d´emontrer ce dernier point, on va passer par la formule d’Euler- Poincar´e, qui donne une autre expression de la caract´eristique d’Euler- Poincar´e.

D´efinition 15. On appelle espace euclidien orient´e un couple (E, C) o`u E est un espace euclidien et C une classe d’´equivalence sur l’ensemble des bases de E pour la relation d’´equivalence R d´efinie par

BRB⁰ ⇐⇒ det P_B,B⁰ > 0

L’orientation de F sous-espace vectoriel de dimension n−p de (E, C) espace euclidien orient´e de dimension n suivant (e₁, ..., e_p) une base d’un suppl´ementaire de F est l’espace euclidien orient´e

(F, {(e_p+1, ..., e_n)|(e₁, ..., e_n) ∈ C})

On appelle base directe de l’espace euclidien orient´e (E, C) une base appartenant `a C. On appelle base indirecte de l’espace euclidien orient´e (E, C) une base n’appartenant pas `a C.

L’espace euclidien orient´e usuel correspondant `a Rⁿ est donn´e par la base (directe par d´efinition)

((1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), (0, 0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 0, 1, 0), (0, ..., 0, 1)).

D´efinition 16. Soit K un complexe (lin´eaire). On pose : K⁽ⁱ⁾ = {σ ∈ K | σ est une cellule de dimension i}

et pour tout σ ∈ K on suppose fix´ee une orientation.

On note C_i(K) le Z-module des i-chaˆınes (`a support compact) sur K, c’est-`a-dire le groupe ab´elien libre engendr´e par K⁽ⁱ⁾.

Une i-chaˆıne c ∈ C_i(K) est donc une combinaison lin´eaire c = ^X

σ∈K⁽i)

c_σσ

o`u c_σ ∈ Z est non-nul seulement pour un ensemble fini de σ.

On dispose sur Ci(K) d’une application de bord ∂ naturelle :

∂ : C_i(K) → C_i−1(K)

Cette application ´etant lin´eaire, il suffit de donner son expression sur chaque cellule σ ∈ K⁽ⁱ⁾, qui est donn´ee par la formule :

∂σ = ^X

τ hyperface de σ

±τ

o`u le signe ± est + si l’orientation de τ est induite par celle de σ et − sinon.

Le lemme ´el´ementaire suivant est fondamental.

Lemme 17. Si K est simplicial, on a ∂ ◦ ∂ = 0

D´emonstration. Il suffit de v´erifier la formule sur une cellule σ ∈ K⁽ⁱ⁾. On a

∂σ = ^X

τ hyperface de σ

±τ

Chaque face de codimension 2 de σ est l’intersection d’exactement 2 hyperfaces τ et τ⁰ de σ et les orientations induites se compensent. On en d´eduit par un calcul ´el´ementaire que ∂(∂σ) = 0 :

Soient s₀, s₁, .., s_r les sommets du simplexe σ ∈ K^(r) (index´es de mani`ere coh´erente avec l’orientation). On note σ_i(resp. σ_ij) le simplexe orient´e de dimension r − 1 (resp. r − 2) obtenu en omettant le sommet s_i (resp. les sommets s_i et s_j).

On a alors

∂σ =

r

X

i=0

(−1)ⁱσ_i

∂σ_i =

i−1

X

j=0

(−1)^jσ_ji+

r

X

j=i+1

(−1)^j−1σ_ij et donc

∂(∂σ) =^X

j<i

(−1)^i+jσ_ji+^X

i<j

(−1)^j+i(−1)σ_ij = 0.

 Remarque 18. La suite

...→ C^∂ _i(K)→ C^∂ _i−1(K)→ ...^∂ → C^∂ ₀

est appel´ee complexe de chaˆınes. L’application bord est parfois aussi appel´ee la diff´erentielle du complexe de chaˆınes.

D´efinition 19. Une i-chaˆıne c ∈ C_i(K) est un i-cycle si son bord est nul, i.e. si ∂c = 0. On note

Z_i(K) = ker(∂ : C_i(K) → C_i−1(K)) le sous-module des i-cycles.

D´efinition 20. Une i-chaˆıne c ∈ C_i(K) est un bord (on dit aussi que c est homologue `a 0) si elle est le bord d’une (i + 1)-chaˆıne. On note

B_i(K) = im(∂ : C_i+1(K) → C_i(K)) le sous-module des i-chaˆınes qui sont homologues `a 0.

Remarque 21. Le lemme implique que si c ∈ C_i(K) est un bord, alors c’est un i-cycle. Autrement dit, Bi(K) est un sous-module de Zi(K).

D´efinition 22. Le groupe quotient

H_i(K) = Z_i(K)/B_i(K)

est appel´e i-`eme groupe d’homologie du complexe K.

Remarque 23. Si K est fini, chaque H_i(K) est un groupe ab´elien de type fini avec une partie libre et un partie de torsion.

D´efinition 24. Soit K un complexe dont les groupes d’homologie H_i(K) sont de type fini pour tout i. On appelle i-`eme nombre de Betti de K le rang de la partie libre de H_i(K) ; on le note b_i(K).

On appelle i-`eme groupe de torsion de K le sous-groupe de torsion de H_i(K) ; on le note Tors_i(K).

Propri´et´e 25. Soit K un complexe de dimension n. Alors Hi(K) = 0 pour i > n − 1.

Propri´et´e 26. Soit (K_i)_i∈I une famille de complexes disjoints dans R^m. Alors, H_?(^FK_i) = ^L_i∈IH_?(K_i).

D´emonstration. Ces deux propri´et´es sont d´eja vraies au niveau des complexes de chaˆınes : d’une part C_?>n(K) = {0} par d´efinition et d’autre part C_?(K^FK⁰) = C_?(K)^LC_?(K⁰) car l’op´erateur de bord envoie une faces dans une combinaison lin´eaire de sous-faces.  Notations 27. Pour tout complexe K, on note |K| =^S_D∈KD.

Proposition 28. Pour tout complexe K, le groupe H₀(K) est un groupe ab´elien libre de rang ´egal au nombre de composantes connexes du poly`edre

|K|.

D´emonstration. De par la propri´et´e 26, on peut supposer |K| connexe.

Le groupe Z₀(K) = C₀(K) est engendr´e par les sommets de K. Main- tenant, l’image d’une arˆete αβ par l’application bord ∂ est ´egale `a

±(α − β). Le sous-groupe B₀(K) ⊂ Z₀(K) est donc engendr´e par les α − β, o`u αβ est une arˆete. En identifiant Z<sub>0</sub>(K) `a Z^M, o`u M est le nombre de sommets, on obtient que B<sub>0</sub>(K) est contenu dans l’hyper- plan L d’´equation x1+ ...xM = 0 et l’engendre, puisque K est suppos´e connexe. On en conclut que H0(K) = Z<sup>M</sup>/L est isomorphe `a Z.  Th´eor`eme 29. Soit K un complexe fini de dimension d et X = |K|

le polytope correspondant. On note c_i = c_i(K) le rang du complexe de chaˆınes C_i(K), c’est-`a-dire le nombre de i-cellules dans K (et donc le nombre de i-faces du polytope X), et b_i = b_i(X) les nombres de Betti de X. On a alors :

d

X

i=0

(−1)ⁱc_i =

d

X

i=0

(−1)ⁱb_i

L’invariant ^Pd_i=0(−1)ⁱb_i est appel´ee la caract´eristique d’Euler-Poincar´e du polytope X.

D´emonstration. La d´emonstration est purement alg´ebrique. On abr`ege par C_i, Z_i, B_i et H_i les Z-modules Ci(K), Z_i(K), B_i(K) et H_i(K). On a alors des suites exactes de Z-modules (de type fini)

0 → Zi → Ci

→ B∂ i−1 → 0 et 0 → Bi → Zi → Hi → 0

. On en conclut que

rang Ci = rang Zi+ rang Bi−1 et rang Zi = rang Bi+ rang Hi

. On a donc

rang C_i = rang H_i+ rang B_i+ rang B_i−1 et

X

i

(−1)ⁱrang C_i =^X

i

(−1)ⁱrang H_i

 Les groupes d’homologie que l’on a d´efini d´ependent a priori de la subdivision K choisie d’un polytope X. Dans les faits, on peut les d´efinir pour X, ind´ependamment de la subdivision choisie.

D´efinition 30. On appelle cellulation (lin´eaire) d’un polytope X la donn´ee d’un complexe K tel que X = |K|. Si de plus K est simplicial, on parlera de triangulation. On dit qu’une cellulation K⁰ d’un poly`edre X est une subdivision d’une autre K, et on ´ecrit K⁰ < K, si chaque cellule D⁰ ∈ K⁰ est contenue dans une cellule D ∈ K.

Lemme 31. Soient K₁ et K₂ deux complexes tels que |K₁| = |K₂|.

Alors il existe une subdivision commune K₀, c’est-`a-dire K₀ < K₁ et K₀ < K₂. On dit que les cellulations sont compatibles.

D´emonstration. Il suffit d’intersecter les deux cellulations.  Remarque 32. ´Etant donn´e un complexe K et un sous-complexe L, toute subdivision de L induit canoniquement une subdivision de K qui laisse intacte toute cellule de K qui n’est pas dans L.

Le lemme suivant est une g´en´eralisation de la preuve constructive de la section pr´ec´edente.

Lemme 33. Toute cellulation K d’un poly`edre X admet une subdivi- sion K⁰ < K qui est une triangulation.

D´emonstration. On proc`ede par r´ecurrence sur la dimension de K. Un complexe de dimension 0 ou 1 est toujours simplicial. Supposons main- tenant que tout complexe de dimension k, pour un certain k > 1, admet une subdivision qui est une triangulation, et consid´erons un complexe de dimension k + 1. Son k-squelette, c’est-`a-dire l’union de toutes ses cellules de dimension inf´erieure ou ´egale `a k, admet une subdivision simpliciale par hypoth`ese de r´ecurrence, qui, d’apr`es la remarque ci- dessus, induit une subdivision de K. On subdivise alors chaque cellule de dimension k +1 en prenant les cˆones depuis un point de son int´erieur sur chacune des cellules du bord. Le cˆone sur chacun de ces simplexes est encore un simplexe. Ainsi, la subdivision de K obtenue est une

triangulation. 

D´efinition 34. Soit X ⊂ R^m un poly`edre muni d’une cellulation K.

On dit qu’une cellulation K⁰ de X r´esulte d’une bissection (lin´eaire) de K en D ∈ K, et on ´ecrit K → K⁰, si on peut former K⁰ en rempla¸cant D ∈ K par trois cellules D−, D₊, D₀, o`u D₀est l’intersection transverse d’un hyperplan de R^m avec D et d´ecoupe D en deux cellules non vides D− et D₊.

On ´ecrit K⁰ ≺ K, s’il existe une suite finie de bissections K = K₁ → K₂ → ... → K_n= K⁰

et on dit que K⁰ se d´eduit de K par bissections.

Proposition 35. Soit X un poly`edre compact et K<sub>1</sub>, K<sub>2</sub> deux cellula- tions de X. Alors il existe une cellulation K<sub>0</sub> de X qui est une subdi- vision par bissections de K<sub>1</sub> et K<sub>2</sub>, c’est-`a-dire K₀ ≺ K₁ et K₀ ≺ K₂. D´emonstration. Commen¸cons par consid´erer le cas o`u K<sub>1</sub> < K<sub>2</sub>. De par la derni`ere remarque, on peut proc´eder cellule par cellule ind´ependamment, ce qui nous ram`ene au cas o`u K₂est constitu´e d’une unique cellule D de dimension n et des cellules de son bord. Maintenant il existe une famille finie H₁, ..., H_k d’hyperplans de Rⁿ tels que toute cellule de K₁ soit une intersection finie de demi-espaces associ´es aux H_i. Chaque H_i induit une subdivision par bissections de K₂, mais aussi de K₁. Le r´esultat final commun de ces subdivisions par bissections est la cellulation K₀ recherch´ee.

En g´en´eral, K1 et K2 ´etant compatibles, il existe K3 une cellulation (triangulation) de X telle que K₃ < K₁ et K₃ < K₂. Le mˆeme rai- sonnement fournit K₀, obtenue par bissections communes de K₁ et K₂

(car elles sont d´efinies par K₃). 

Soit X un poly`edre et soit K une cellulation de X, de sorte que

|K| = X. Supposons maintenant fix´ee une subdivision K⁰ < K. Il lui correspond la famille des applications lin´eaires F_i de C_i = C_i(K) vers C_i⁰ = C_i(K⁰) qui associent `a toute cellule σ ∈ K⁽ⁱ⁾ la somme

F_i(σ) = ^X

σ⁰∈K⁰⁽ⁱ⁾,|σ⁰|⊂|σ|

±σ⁰

o`u le signe ± est + si les orientations de σ et σ⁰ sont compatibles et − sinon.

La proposition suivante est imm´ediate mais fondamentale.

Proposition 36. L’application F = (F_i) : C_• → C_•⁰ est un mor- phisme de complexes, autrement dit F = (F_i) est une suite d’applica- tions lin´eaires telles que le diagramme

· · · −→ C_i −→^∂ C_i−1 −→^∂ C_i−2 −→ · · ·

Fi ↓ Fi−1↓ Fi−2 ↓

· · · −→ C_i⁰ −→^∂ C_i−1⁰ −→^∂ C_i−2⁰ −→ · · ·

soit commutatif.

Remarque 37. Notons que si α ∈ C_i est un cycle, il d´ecoule de la proposition que F (α)est ´egalement un cycle :

∂F (α) = F (∂α) = 0.

De la mˆeme mani`ere F envoie B• dans B⁰_•. Un morphisme de com- plexe induit donc un morphisme entre les groupes d’homologie de ces complexes.

Th´eor`eme 38. Le morphisme de complexes F : C•(K) → C•(K<sup>0</sup>) est un quasi-isomorphisme, c’est-`a-dire qu’il induit un isomorphisme au niveau des groupes d’homologie.

Puisque l’on a montr´e que les cellulations K et K⁰ du poly`edre X poss`edent une subdivision commune K₀ qui est une subdivision par bissections de K et de K⁰, le th´eor`eme d´ecoule du lemme suivant.

Lemme 39. Soit K⁰ une subdivision de K r´esultant d’une bissection

´

el´ementaire. Alors le morphisme de complexes F : C•(K) → C•(K⁰) est un quasi-isomorphisme.

D´emonstration. Soit D la cellule de K telle que K⁰ est obtenue `a partir de K en rempla¸cant D par trois cellules D−, D₊ et D₀ comme dans la d´efinition :

Soit n la dimension de D₀, ´egale `a la dimension de D moins 1. Pour tout i, on a :

Ci(K⁰) = C_i⁰⊕ Ci(K)

o`u C<sub>n+1</sub><sup>0</sup> = Z[D<sup>+</sup>], C<sub>n</sub><sup>0</sup> = Z[D<sup>0</sup>] et est ´egal `a {0} en tous les autres degr´es. On en d´eduit que

Z_n+1(K⁰) = Z_n+1(K) et B_n+1(K⁰) = B_n+1(K) et

Z_n(K⁰) = Z_n(K) ⊕ Z[∂D+] et B_n(K⁰) = B_n(K) ⊕ Z[∂D+].

Le lemme s’en d´eduit. 

On peut maintant d´efinir l’homologie poly´edrale, puisqu’elle ne d´epend pas de la cellulation choisie.

D´efinition 40. Soit X un poly`edre. On appelle homologie poly´edrale (ou simpliciale) H•(X) de X l’homologie H•(K) o`u K est une cellula- tion quelconque de X.

Etendons maintenant les notions introduites pr´ec´edemment `a un es- pace topologique X.

D´efinition 41. Soit X un espace topologique. Pour tout i ∈ N, un i-simplexe singulier de X est une application continue

σ : ∆i → X

o`u

∆i = {(x0, .., xi) ∈ Rⁱ⁺¹|xk > 0,

i

X

k=0

xk = 1}

est le simplexe standard de dimension i.

D´efinition 42. On note C_i(X) = C_i,sing(X) le Z-module libre en- gendr´e par l’ensemble de tous les i-simplexes singuliers de X. Chaque

´

el´ement de C_i(X) est donc une combinaison lin´eaire de la forme

X

σ:∆i→X

c_σσ

o`u seulement un nombre fini des entiers relatifs c_σ est non nul. Les

´

el´ements de C_i(X) sont appel´es i-chaˆınes singuli`eres.

Pour i > 1, on d´efinit une application bord ∂ : Ci(X) → C_i−1(X) de la mani`ere suivante.

Commen¸cons par d´efinir l’image d’un i-simplexe singulier σ : ∆_i → X. Pour tout k = 0, .., i, on obtient un (i − 1)-simplexe singulier ∂kσ en composant l’application lin´eaire

(x₀, .., x_i−1) 7→ (x₀, ..., x_k−1, 0, x_k, ..., x_i−1)

, de ∆i−1⊂ Rⁱ vers la k-`eme face xk = 0 de ∆i, par l’application σ. On pose alors :

∂σ =

i

X

k=0

(−1)^k∂kσ .

Maintenant qu’on a d´efini l’image d’un i-simplexe singulier quel- conque, il ne reste plus qu’`a ´etendre par lin´earit´e en une application

∂ : C_i(X) → C_i−1(X). Pour i = 0, on pose C−1(X) = {0} et on d´efinit

∂ : C₀(X) → C−1(X) comme l’application nulle.

Remarque 43. Une 0-chaˆıne singuli`ere est donc juste une combinaison lin´eaire finie de points de X alors qu’une 1-chaˆıne est une combinai- son lin´eaire de chemins (param´etr´es) dans X. Le bord d’une telle 1- chaˆıne est la combinaison lin´eaire correspondante des diff´erences entre les extr´emit´es des chemins.

Remarque 44. On d´emontre comme pour l’homologie simpliciale (ou poly´edrale), avec des d´efinitions ´equivalentes, que l’op´erateur ∂ fait des chaˆınes singuli`eres un complexe. On peut ainsi d´efinir l’homologie singuli`ere

Lorsque X est un poly`edre on dispose de deux th´eories homolo- giques : l’homologie poly´edrale ou simpliciale et l’homologie singuli`ere.

On montre alors que les groupes d’homologie obtenus sont isomorphes.

Th´eor`eme 45. Soit X un poly`edre et T : |K| → X une triangula- tion (T est donc un hom´eomorphisme). L’application T induit un mor- phisme de complexes C•(K) → C•,sing(X), qui est un quasi-isomorphisme,

c’est-`a-dire qu’il induit un isomorphisme au niveau des groupes d’ho- mologie.

La d´emonstration se fait `a partir des complexes de chaˆınes.

Remarque 46. Toute vari´et´e X admet une triangulation lisse T : |K| → X. Le th´eor`eme ci-dessus montre que, pour d´eterminer l’homologie singuli`ere de X, on peut calculer l’homologie simpliciale du complexe K. Ceci permet de remplacer le complexe de chaˆıne C_?,sing(X) (qui est de dimension infinie) par le complexe de chaˆıne de dimension finie C_?(K).

Si X et Y sont deux espaces topologiques et f : X → Y est une application continue, alors f induit un morphisme de complexes de chaˆınes f_? : C_?(X) → C_?(Y ) qui `a un simplexe singulier σ associe le simplexe singulier f ◦ σ : ∆_i → Y .

Comme f_? est un morphisme de complexes, il passe au quotient pour d´efinir une application, toujours not´ee f_? : H_?(X) → H_?(Y ), entre les groupes d’homologie singuli`ere.

Proposition 47. Soient f et g deux applications homotopes de X dans Y . Alors les applications induites f_? et g_? de H_?(X) dans H_?(Y ) co¨ıncident.

Le r´esultat d´ecoule alors du lemme (plus fort) suivant.

Lemme 48. Soient f et g deux applications homotopes de X dans Y . Alors il existe une homotopie de chaˆınes entre f_? et g_?, c’est-`a-dire une famille de morphismes K = (K_i : C_i(X) → C_i+1(Y )) v´erifiant

(**) Ki∂ + ∂Ki+1= g?− f?

pour tout i.

D´emonstration. Soient ι : X → X × [0, 1] et ι⁰ : X → X × [0, 1] les applications d´efinies par ι(x) = (x, 0) et ι⁰(x) = (x, 1). Si h est une homotopie entre f et g, alors f = h ◦ ι et g = h ◦ ι⁰. Il suffit donc de montrer que ι_? et ι⁰_? sont homotopes. Par lin´earit´e il suffit de construire les K_i sur les i-simplexes singuliers.

Consid´erons donc un i-simplexe singulier σ : ∆_i → X. Il lui corres- pond une application σ × Id : ∆_i× [0, 1] → X × [0, 1]. L’id´ee est alors de d´ecomposer le prisme ∆_i× [0, 1] en (i + 1) simplexes de dimension i + 1. Notons (x₀, .., x_i; λ) les coordonn´ees de ∆_i× [0, 1] ⊂ Rⁱ⁺¹× [0, 1].

Alors pour tout k ∈ {0, .., i}, le k-`eme simplexe de la d´ecomposition du prisme est constitu´e des points (x0, .., xi, λ) tels que

x₀+ .. + x_k−1 6 λ 6 x0+ .. + x_k.

Ce simplexe co¨ıncide avec le simplexe obtenu comme enveloppe convexe des points (s₀× {1}, .., s_k× {1}, s_k× {0}, s_i× {1}) o`u on a not´e s₀, .., s_i les sommets du simplexe standard.