E557 – Arithmétique dans un carrousel
Quatorze chevaux en bois sont installés sur le pourtour circulaire d’un carrousel. Puce aimerait bien faire le même nombre de tours de manège afin de les chevaucher les uns après les autres mais il n’a pas assez d’argent de poche. À l’occasion de Noël, le forain promet la gratuité de ces quatorze tours de manège à la condition que Puce prouve au préalable qu’il peut respecter la règle suivante : entre deux tours, l’enfant doit se déplacer toujours dans le sens des aiguilles d’une montre et le nombre de chevaux qui séparent le cheval qu’il vient de quitter et celui qu’il va monter est un entier strictement inférieur à 14 et toujours différent des précédents. Puce demande l’aide de Zig pour trouver la bonne séquence mais Zig est
définitivement fâché avec l’arithmétique.
Q₁ Pouvez-vous aider Puce à effectuer gratuitement ses quatorze tours de manège ? Q₂ Le jour de l’an, un cheval est enlevé du carrousel pour réparation. Le forain renouvelle
son offre à Puce. Pouvez-vous aider à nouveau Puce à effectuer gratuitement les treize tours de manège ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Q1
On comprendra le nombre de chevaux qui séparent le cheval i qu’il vient de quitter et celui j qu’il va monter comme désignant le nombre de chevaux présents dans l'intervalle [i, j] et non comme la différence (j – i) mod. 14. Ainsi, entre les chevaux 9 et 3, il aura non pas 3 +14 – 9
= 6 chevaux mais 7 : les chevaux 10, 11, 12, 13, 14, 1, 2.
L'écart ne peut prendre que les 13 valeurs de 0 à 12. La valeur 13 est exclue car elle ramène au cheval précédent et 14 l'est comme faisant double emploi avec 0.
L'intuition et quelques tâtonnements conduisent à la solution suivante :
n° cheval écart
1 12
14 1
2 10
13 3
3 8
12 5
4 6
11 7
5 4
10 9
6 2
9 11
7 0
8
Q2
L'écart ne peut prendre cette fois que les 12 valeurs de 0 à 11. Les différences (j – i), qui mesurent l'avancement du joueur, prendront donc ces valeurs + 1, soit les valeurs de 1 à 12, soit au total, si elles sont prises chacune une fois : 12 13 / 2 = 78.
Mais ce nombre 78 est divisible par 13 et le joueur reviendra nécessairement à son point de départ.
On ne peut donc pas aider Puce à effectuer gratuitement les treize tours de manège.
