B10446. Quatorze à placer
Dans le graphe ci-dessous de 6 sommets et 9 arêtes, chaque sommet a une valeur qui est un entier de 1 à 15. Chaque arête a pour valeur la différence des valeurs des deux sommets qu’elle relie. Les 15 valeurs sont toutes distinctes, la valeur 15 étant celle du sommet du haut. Reconstituez les dispositions possibles des entiers 1 à 14. Combien y en a-t-il ?
Solution
A chacun de ces quatre schémas, on peut adjoindre son symétrique échan- geant la droite et la gauche.
Jean-Louis Legrand signale que ce type de problème est connu comme
“shoesmith graph” dans la littérature anglophone ; à la différence du pro- blème proposé ici, on y admet, pour la valeur d’une arête, aussi bien la somme que la différence des valeurs des sommets adjacents. Cela permet de nombreuses autres solutions, comme celle page suivante.
Une étude systématique a été faite pour certains types de graphes, par exemple les “roues” (polygone complété par un “moyeu” et des rayons).
On a ainsi un résultat d’impossibilité pour la roue de 4k points (le moyeu et les sommets d’un polygone à 4k−1 côtés), joints par 8k−2 arêtes : on ne peut y placer les entiers de 1 à 12k−2.
Voir page suivante les “roues” de 5 et 6 sommets, également communiquées par Jean-Louis Legrand.
