MANÈGE SPIN FLY.

Corrigé Exercice 1 : MANÈGE SPIN FLY.

Question 1 :

Question 2 :

Avant tout calcul, TOUJOURS REALISER des figures planes définissant les paramètres d’orientation.

_1/0  .z₀  .z₁ _2/1 .x₁ .x₂ _3/2  .z₂  .z₃

Question 3 :

3/0 3/2 2/1 1/0

      

3/0 .z2 .x1 .z0

      

Question 4 :

NB : Pour déterminer une trajectoire, il faut s’intéresser à la nature du mouvement en présence… (voir cours sur les trajectoires).

Le mouvement de 3/2 est une rotation d’axe ( ,B z₂).

Par conséquent, la trajectoire 3/2

TD_ est un arc de cercle d’axe ( ,B z2), de centre B et de rayon [BD].

Le mouvement de 2/1 est une rotation d’axe ( ,B x₁).

Par conséquent, la trajectoire 2/1

TD_ est un arc de cercle d’axe ( ,B x1), de centre H1 le projeté orthogonal de D sur la droite ( ,B x₁) et de rayon [H1D].

Le mouvement de 1/0 est une rotation d’axe ( ,O z₀).

Par conséquent, la trajectoire 1/0

TD_ est un arc de cercle d’axe ( ,O z0), de centre H2 le projeté orthogonal de D sur la droite

( ,O z0) et de rayon [H2D].

(voir vidéos sur site du professeur) z2

y2 2

1 x x 





y1

z1

y3

x3 3

2 z z 





x2

y2

y1

x1 1

0 z z 





x0

y0

Attention les figures planes définissent _1/0, _2/1 et _3/2 et

non pas _0/1,_1/2 et _2/3. Pour réaliser des figures planes, toujours

commencer par tracer le vecteur commun aux 2 bases, puis placer les autres vecteurs

de façon à obtenir des trièdres directs.

Attention au placement des axes y et z pour que

le trièdre soit direct.

Question 5 :

3 3

3/2 /2 /2 2

2 2 2 2

( . )

" 3 " .

D D D

d c x d x

dO D dBD

V V D V c

dt dt dt dt



   

   

               

       

     

3 3/2 3 3 3 3

2

. .

d x x z x y

dt

 

       

 

 

 

Donc V_D3/2  c. .y₃

0 3

2/1 /1 /1 1

1 1 1

( . . )

" 2 " " " " " " " " "

D D D

d b z c x

dO D dOD

V V D V cte cte cte cte

dt dt dt



 

    

                      

     

   

0 1

1 1

" "

d z d z

dt cte dt

   

   

   

 

   

    " cte"0 car z₁ fixe dans 1

3 3/1 3 2

1

" " " " ( .

d x cte x cte z

dt

 

          

 

 

   .x²)x³  " cte" .sin .z² Donc V_D2/1 c. .sin .z₂

0

1/0 /0 /0

0 0

" 1" " " " " " "

D D D

dO D dOD

V V D V cte et cte cte et cte cte et cte

dt dt



   

                      

   

 

0 3 3

1/0

0 0

( . . )

" " . " "

D

d b z c x d x

V cte et cte c cte et cte

dt dt



    

               

   

   

3

3/0 3 2

0

" " " " ( .

d x cte et cte x cte et cte z

dt

 

              

 

 

   .x¹  .z₀)x₃  " cte et  cte"

3

2 2 3 3 2

0

" " .(cos . sin . ) " " .cos . . sin . sin( ).

2

d x cte et cte z y x cte et cte y z

dt

  

                       

 

 

 

Donc V_D1/0  c. .cos .y₃ c. .sin .cos . z₂ Toujours calculer les dérivées des vecteurs

unitaires en dehors de l'expression globale demandée, cela évite de nombreuses erreurs.

De plus, ces dérivées peuvent être réutilisées dans les questions suivantes…

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.

De plus, la vitesse (portée par y₃ ) est bien tangente à la trajectoire (rappel BDc x. ₃) !

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène

à une vitesse linéaire.

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une

vitesse linéaire.

0 0 3 3

3/0 /0 /0

0 0 0 0

( . . ) .

" 3 " .

D D D

dO D dOD d b z c x d x

V V D V c

dt dt dt dt



        

               

       

     

3

3/0 3 2 1 0 3 3 2 2 2 3

0

( . . . ) . . sin . .(cos . sin . )

d x x z x z x y z z y x

dt

 

                    

 

 

 

3

3 2 3 2 3 2

0

. . sin . .cos . . sin . sin( ). ( .cos ). ( . sin . sin .cos ).

2

d x y z y z y z

dt

  

                        

 

 

 

3/0 .( .cos ). 3 .( .sin .sin .cos ). 2

VD_ c     y c       z

NB : On peut remarquer que V_D3/0 V_D3/2 V_D2/1V_D1/0

(Propriété de composition des vecteurs vitesses que l’on démontrera dans le cours suivant)

Question 6 :





/0

3/0 /0 /0

0 0

.( .cos ). .( . sin . sin .cos ).

" 3 " ^D

D D D

d c y c z

D dV

dt dt



            

   

          

NB : (u.v.w)'=u'.v.w+u.v'.w+u.v.w' Attention cos

d x sin

dx   x et cos

'. sin

d u

u u

dx  

3

3/0 3

0

2 2

.( .cos . . sin ). .( .cos ).

.( . sin . .cos . sin .cos . .cos .cos . sin . . sin ). .( . sin . sin .cos ).

D

c y c d y

dt

c z c d z

dt



 

                

 

 

 

                             

 

 ₀

3

3/0 3 2 1 0 3 3 2 2 2 3

0

( . . . ) . . sin( ). .(cos . sin . )

2

d y y z x z y x z z y y

dt

  

                     

 

 

 

3

3 2 3 2 3 2

0

. .cos . .cos . . sin . sin . ( .cos ). ( .cos . sin . sin ).

d y x z x z x z

dt

 

                       

 

 

 

2

2/0 2 1 0 2 2 1

0

( . . ) . . sin .

d z z x z z y x

dt

 

            

 

 

 

3/0 3 3 2

2

.( .cos . . sin ). .( .cos ). ( .cos ). ( .cos . sin . sin ).

.( . sin . .cos . sin .cos . .cos .cos . sin . . sin ).

.( .

D c y c x z

c z

c

  

                          

                    

 sin  . sin .cos ).(  .y₂ . sin .x₁)

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène

à une vitesse linéaire.

Toujours calculer les dérivées des vecteurs unitaires en dehors de l'expression globale demandée, cela évite de nombreuses erreurs.

soit :

3/0 1 2

2

2 2 3

.( . sin . sin .cos ). . sin . .( . sin . sin .cos ). .

. .cos . sin . sin . sin 2. . .cos . sin .cos 2. . . sin . sin .

.( .cos ) . .(

D c x c y

c z

c x c

                  

 

                    

        .cos   . . sin ).y ₃

Maintenant, il faudrait projeter ce vecteur dans une base unique pour pouvoir déterminer analytiquement sa norme…

Ainsi, on validerait ou non, si la limite supportable par l'homme d'une valeur de 2g est dépassée !!

Toujours donner le résultat dans l'ordre croissant des bases, puis dans l'ordre croissant des vecteurs, exemple : V_A2/1 ?.x₁?.y₁?.z₁?.x₂?.y₂ ...

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une accélération linéaire.

Corrigé Exercice 2 : CAMION BENNE.

Question 1 :

Question 2 :

Question 3 :

B1=B2 car le mouvement de 2/1 est une translation : donc _2/1 0. Attention R1R2 car les origines sont distincts.

Question 4 :

Le mouvement de 2/1 est une translation rectiligne de direction x₁.

Par conséquent, la trajectoire T_B2/1 est un segment de droite porté par ( ,B x₁). Le mouvement de 1/0 est une rotation d’axe ( , )O z .

Par conséquent, la trajectoire du point T_B1/0 est un arc de cercle d’axe ( , )O z , de centre O et de rayon [OB].

Le mouvement de 2/0 est une combinaison d’une rotation d’axe ( , )O z et d’une translation dans le plan ( , )x y . Les trajectoires des points de 2 dans R0 sont quelconques dans le plan ( , )x y .

y1

x1

z





x0

y0

1/0 .z0 .z1

    

Attention la figure plane définit

1/0 et non pas _0/1.

Pour réaliser des figures planes, toujours commencer par tracer le vecteur commun aux 2 bases, puis placer les autres vecteurs

de façon à obtenir des trièdres directs.

Question 5 :

1 1 1

2/1 /1 /1 1

1 1 1

" 2 " . . .

B B B

dO B d x d x

V V B V x

dt dt dt



      

             

     

     

Donc V_B2/1  .x₁

0 1 1

1/0 /0 /0

0 0

0

" 1" " " " " . " " .

B B B

dO B d x d x

V V B V cte cte cte

dt dt dt



      

                    

   

     

 

1 1/0 1 1 1 1

0 d x .

x z x y

dt

 

        

 

 

 

Donc V_B1/0   . .y₁

0 1 1

2/0 /0 /0 1

0 0

0

" 2 " . . .

B B B

dO B d x d x

V V B V x

dt dt dt



      

              

   

     

 

Donc V_B2/0 .x₁  . .y₁

NB : On peut remarquer que V_B2/0 V_B2/1V_B1/0

(Propriété de composition des vecteurs vitesses que l’on démontrera dans le cours suivant)

Question 6 :

/0 1 1 1 1

2/0 /0 /0 1 1

0 0 0

0

( . . . )

" 2 " ^B . . ( . . ). . .

B B B

dV d x y d x d y

B x y

dt dt dt dt



           

                            

     

       

 

1 1/0 1 1 1 1

0

d y y z y x

dt

 

         

 

 

 

2 2/0 . 1 . . 1 ( . . ). 1 . . 1

B_ x y y x

              

     2      

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène

à une vitesse linéaire.

De plus, la vitesse (portée par x1) est bien tangente à la

trajectoire.

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.

De plus, la vitesse (portée par y₁) est bien tangente à la trajectoire (rappel OB .x₁) !

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.

Toujours calculer les dérivées des vecteurs unitaires en dehors de l'expression globale demandée, cela évite de nombreuses erreurs.

Toujours calculer les dérivées des vecteurs unitaires en dehors de l'expression globale demandée, cela évite de nombreuses erreurs.

De plus, ces dérivées peuvent être réutilisées dans les questions suivantes…

Toujours donner le résultat dans l'ordre croissant des bases, puis dans l'ordre croissant

des vecteurs, exemple :

2/1 ?. 1 ?. 1 ?. 1 ?. 2 ?. 2 ...

VA_  x  y  z  x  y 

Corrigé Exercice 3 : BRAS MANIPULATEUR.

Question 1 :

Pour paramétrer les 2 rotations et la translation, on utilise 2 paramètres angulaires et 1 paramètre linéaire : Soit :  (x₀,x₁)(y₀,y₁),  (y y₁, ₂)( ,z z_{1 2}) et BC .z₂.

Question 2 :

_1/0  .z₀  .z₁ _2/1 .x₁ .x₂

Question 3 :

Par conséquent, la trajectoire T_C3/2 est un segment de droite porté par ( ,C z₂). Le mouvement de 2/1 est une rotation d'axe ( ,B x₁).

Par conséquent, la trajectoire T_C2/1 est un arc de cercle d'axe ( ,B x₁), de centre B et de rayon

 

Le mouvement de 1/0 est une rotation d'axe ( ,A z₀).

Par conséquent, la trajectoire T_C1/0 est un arc de cercle d'axe ( ,A z₀), de centre H le projeté orthogonal de C sur ( ,A z₀) et de rayon

 

Question 4 :

2 2 2

3/2 /2 /2 2

2 2 2 2

" 3 " . . .

C C C

dO C dBC d z d z

V V C V z

dt dt dt dt



        

                 

       

     

Donc V_C3/2  .z₂

1 1 2

2/1 /1 /1

1 1 1

( . . )

" 2 " " " " " " " " "

C C C

dO C d AC d a y z

V V C V cte cte cte cte

dt dt dt



       

                       

     

   

2 2/1 2 2 2 2

1

" " " " " " .

d z cte z cte x z cte y

dt

 

                 

 

 

 

Donc V _   . .y

z2

y2 2

1 x x 





y1

z1

y1

x1 1

0 z z 





x0

y0

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.

De plus, la vitesse (portée par z₂ ) est bien tangente à la trajectoire.

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.

Choisir l'origine ou un point fixe du repère.

0

1/0 /0 /0

0 0

" 1" " " " " " "

C C C

dO C d AC

V V C V cte et cte cte et cte cte et cte

dt dt



   

                       

   

 

1 2

1/0

0

( . . )

" "

C

d a y z

V cte et cte

 dt

   

      

 

 

1 1/0 1 1 1 1

0

" " " "

d y y cte et cte z y cte et cte x

dt

 

                   

 

 

 

2

2/0 2 1 0 2 1

0

" " ( . . ) " " . sin .

d z z cte et cte x z z cte et cte x

dt

 

                    

 

 

 

Donc V_C1/0   a. .x₁  . .sin .x₁ Donc V_C1/0  ( .sin a). .x₁

0 1 2 1 2

3/0 /0 /0 2

0 0 0 0

0

( . . )

" 3 " . . .

C C C

dO C d AC d a y z d y d z

V V C V a z

dt dt dt dt dt



           

                    

     

         

 

1 1/0 1 1 1 1

0

d y y z y x

dt

 

         

 

 

 

2

2/0 2 1 0 2 2 1 1 2

0

( . . ) . . sin . . sin . .

d z z x z z y x x y

dt

 

                 

 

 

 

3/0 . . 1 . 2 .( .sin . 1 . 2) VC_   a x  z    x  y

3/0 ( .sin ). . 1 . . 2 . 2

VC_    a x   y  z

NB : On peut remarquer que V_C3/0 V_C3/2 V_C2/1V_C1/0

(Propriété de composition des vecteurs vitesses que l’on démontrera dans le cours suivant)

Question 5 :

/0 1 2 2

3/0 /0 /0

0 0

(( . sin ). . . )

" 3 " ^C

C C C

dV d a x y z

C dt dt



            

          

 

   

 

1 2 2

3/0 1 2 2

0 0 0

( . sin . .cos ). ( . sin ). . ( . sin ). . ( . . .). . . . .

C

d x d y d z

a x a y z

dt dt dt



     

 

                                     

     

     

1 1/0 1 1 1 1

0 d x .

x z x y

dt

 

        

 

 

 

2

2/0 2 1 0 2 2 1 1 2

0

( . . ) . . sin( ). .cos . .

2

d y y x z y z x x z

dt

  

                  

 

 

 

2

3/0 1 1

2 1 2 2 1 2

( . sin . .cos ). ( . sin ). . ( . sin ). .

( . . .). . .( .cos . . ) . .( . sin . . )

C a x a y

y x z z x y

  

                  

                    

2 2

3/0 2. . .sin 2. . . .cos ( .sin ). . 1 ( .sin ). . 1 (2. . . .). 2 ( . ). 2

C_  a  x a y y z

                              

De plus, ces dérivées peuvent être réutilisées dans

les questions suivantes…

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.

De plus, la vitesse (portée par x₁) est bien tangente à la trajectoire (rappel ABa y. ₁) !

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.

Toujours calculer les dérivées des vecteurs unitaires en dehors de l'expression globale demandée,

cela évite de nombreuses erreurs.

Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène

à une accélération linéaire.

Toujours calculer les dérivées des vecteurs unitaires en dehors de l'expression globale demandée,

cela évite de nombreuses erreurs.