Quatorze premiers
Problème E5901 de Diophante
Placer tous les entiers de 1 à 14 le long de la circonférence d’un cercle de sorte que la somme et la différence (positive) de deux nombres adjacents quelconques soient l’une et l’autre des nombres premiers.
Solution
Ci-dessous, les lignes rouges traversent les cases (x,y) pour lesquelles la
somme x+y est un nombre premier et les lignes noires traversent les cases (x,y) pour lesquelles l'écart abs(x-y) est un nombre premier.
Voilà, pour chaque entier l'ensemble de ses voisins potentiels :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4 5 8 1 2 1 4 3 2 3 6 1 6 3 6 9 10 7 8 11 10 5 4 7 8 5 10 9 12 14 9 12 13 12 11 14 13 7
Il apparaît que 2, 11, 13 et 14 n'ont que deux voisins potentiels.
Nécessairement 3, 14, 9, 2 et 5 sont consécutifs ainsi que 8, 11, 6, 13 et 10 et, en plus, 1 et 6 ne peuvent pas être voisins ainsi que 4 et 9.
Ainsi il ne reste que 17 arêtes dans le graphe des voisinages.
D'où l'unique solution, à une inversion de sens près :
Contrôle de primalité des sommes et des écarts de nombres voisins :
