E557 – Arithmétique dans un carrousel [*** à la main]
Quatorze chevaux en bois sont installés sur le pourtour circulaire d’un carrousel. Puce aimerait bien faire le même nombre de tours de manège afin de les chevaucher les uns après les autres. A l’occasion de Noël, le forain promet de rembourser le prix des quatorze tours de manège à la condition de respecter la règle suivante : entre deux tours, l’enfant se déplace toujours dans le sens des aiguilles d’une montre et le nombre de chevaux qui séparent le cheval qu’il vient de quitter et celui qu’il va monter est un entier strictement inférieur à 14 et toujours différent des précédents . Puce demande l’aide de Zig pour trouver la bonne séquence mais Zig est définitivement fâché avec l’arithmétique.
Q₁ Pouvez-vous aider Puce à effectuer gratuitement ses quatorze tours de manège ?
Q₂ Le jour de l’an,un cheval est enlevé du carrousel pour réparation. Le forain renouvelle sa promotion.Pouvez-vous aider à nouveau Puce à effectuer gratuitement treize tours de
manège ?
Solution proposée par Pierre Leteurtre
Q₁ Avec 14 chevaux, la somme des déplacements demandés est égale à n (n+1) / 2, soit 91 ou 7 modulo 14.
Tout itinéraire acceptable doit se terminer sur le cheval opposé au cheval de départ.On ne pourra pas finir un itinéraire qui ne respecte pas cette condition.
Cela dit, il existe un très grand nombre d'itinéraires possibles; la question auxiliaire est : combien? En ayant recours à l'informatique (pourquoi se priver quand le sujet s'y prête?) avec quelques 5700 millions de combinaisons à tester qui demandent un quart d'heure environ, on obtient des résultats curieux: il y a 89328 itinéraires possibles, chacun avec ses 3 associés : symétrie par complémentation à 14, symétrie par renversement de l'ordre ("les premiers seront les derniers") et combinaison des 2. Ils sont répartis en ensembles de 7582 itinéraires
lorsqu'ils commencent par 1, 3 ou 5 et 7306 itinéraires lorsqu'ils commencent par 2, 4 ou 6. Il n'y a évidemment pas de solution commençant par 7 et les ensembles symétriques pour les débuts de 8 à 13 {vérif: (7582 + 7306) x 6 = 89328}. Je n'ai pas d'explication pour ces valeurs et si je fais le décompte sur les 2 premiers chiffres, il n'y a plus de structure apparente; par exemple de 12.. à 15.. on a des ensembles de 763, 936, 770 et 886, évidemment pas de solution en 16.., puis 536, 642, 713, 796, 767, 773 de 17.. à 1D..
Le 1er itinéraire en ordre croissant des déplacements est : 123487CAB65D9
Un autre vers le milieu des solutions : 6DCAB58724319 (le suivant est son symétrique : 81243967CABD5)
Q₂ Avec 13 chevaux, la somme est égale à 78, ou 0 modulo 13. On ne peut finir aucun itinéraire puisqu'il faudrait revenir sur le cheval de départ.
