E557. Arithmétique dans un carrousel
Quatorze chevaux en bois sont installés sur le pourtour circulaire d’un carrousel. Puce aimerait bien faire le même nombre de tours de manège afin de les chevaucher les uns après les autres mais il n’a pas assez d’argent de poche. A l’occasion de Noël, le forain promet la gratuité de ces quatorze tours de manège à la condition que Puce prouve au préalable qu’il peut respecter la règle suivante : entre deux tours, l’enfant doit se déplacer toujours dans le sens des aiguilles d’une montre et le nombre de chevaux qui séparent le cheval qu’il vient de quitter et celui qu’il va monter est un entier strictement inférieur à 14 et toujours différent des précédents . Puce demande l’aide de Zig pour trouver la bonne séquence mais Zig est définitivement fâché avec l’arithmétique.
Q₁ Pouvez-vous aider Puce à effectuer gratuitement ses quatorze tours de manège ?
Q₂ Le jour de l’an, un cheval est enlevé du carrousel pour réparation. Le forain renouvelle son offre à Puce. Pouvez-vous aider à nouveau Puce à effectuer gratuitement les treize tours de manège ? Solution proposée par David Amar
Réponse 1 : Oui.
Il suffit par exemple de prendre la séquence {1, 2, 3, 4, 8, 7, 12, 10, 11, 6, 5, 13, 9}
Les chevaux sont alors les numéros {1, 2, 4, 7, 11, 5, 12, 10, 6, 3, 9, 14, 13, 8}
Réponse 2 : Non.
Quel que soit l’ordre utilisé pour notre séquence de nombres de 1 à 12, leur somme totale fait 12*13/2 = 78. Le dernier cheval sera donc situé 78 positions après le premier ; or 78 est multiple de 13 donc après 6 tours Zig reviendra forcément sur le cheval initial.
Cas général :
Soit un carrousel comportant chevaux, dans quels cas peut-on trouver une séquence qui correspond ?
Cas
Il n’est pas possible de trouver une séquence qui convient. En effet, la somme de tous les décalages vaut , c’est un multiple de , donc le dernier cheval sera toujours le même que le premier
Cas
On note le nombre de chevaux du i ème déplacement. On pose
Dans ce cas, on peut déjà remarquer que la parité tous les sont distincts :
- pour pair, est pair et strictement décroissant - pour impair, est impair et strictement croissant
Par ailleurs, pour , est compris entre 1 et , et puisqu’ils sont tous différents, prend toutes les valeurs comprises entre 1 et .
Démarrons du cheval 1. Montrons alors que le i ème cheval est
Démonstration : pour le premier, c’est notre hypothèse.
Après le déplacement , le deuxième cheval est le numéro . Par récurrence, on peut donc montrer que si le i-ème est , alors le suivant est et le sur-suivant est
(modulo bien entendu) Après le déplacement , le troisième cheval est le numéro . Par récurrence, on peut donc montrer que si le i-ème est , alors le suivant est et le sur- suivant est , modulo toujours.
Pour pair, on parcourt donc tous les chevaux du second au k+1-ème ; et pour impair tous ceux du 2k- ème au k+2 ème.
Conclusion : une telle séquence permet de parcourir tous les chevaux.
Application au cas : la séquence serait et les chevaux seraient alors parcourus dans l’ordre
