Enoncé E557 (Diophante) Arithmétique dans un carrousel
Quatorze chevaux en bois sont installés sur le pourtour circulaire d’un carrousel. Puce aimerait bien faire le même nombre de tours de manège afin de les chevaucher les uns après les autres mais il n’a pas assez d’argent de poche. A l’occasion de Noël, le forain pro- met la gratuité de ces quatorze tours de manège à la condition que Puce prouve au préalable qu’il peut respecter la règle suivante : entre deux tours, l’enfant doit se déplacer toujours dans le sens des aiguilles d’une montre et le nombre de chevaux qui séparent le cheval qu’il vient de quitter et celui qu’il va monter est un en- tier strictement inférieur à 14 et toujours différent des précédents.
Puce demande l’aide de Zig pour trouver la bonne séquence mais Zig est définitivement fâché avec l’arithmétique.
Q1 Pouvez-vous aider Puce à effectuer gratuitement ses quatorze tours de manège ?
Q2 Le jour de l’an, un cheval est enlevé du carrousel pour répa- ration. Le forain renouvelle son offre à Puce. Pouvez-vous aider à nouveau Puce à effectuer gratuitement les treize tours de manège ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Numérotant 1 le cheval enfourché au premier tour, et parcourant le manège à partir de là dans le sens des aiguilles d’une montre, on rencontre successivement les chevaux enfourchés lors des tours 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 13, 11, 9, 7, 5, 3.
Cela fait parcourir successivement à Puce 1, 12, 3, 10, 5, 8, 7, 6, 9, 4, 11, 2 et 13 intervalles entre chevaux ; les nombres de chevaux séparant deux chevaux enfourchés succcessivement, et ainsi court- circuités, sont 0, 11, 2, 9, 4, 7, 6, 5, 8, 3, 10, 1 et 12, tous distincts.
Question 2
Pour satisfaire le forain, Puce devrait parcourir, dans un certain ordre, 1, 2, . . ., 11, et 12 intervalles entre chevaux. Le total est 78 intervalles, qui font six tours complets : le treizième cheval enfour- ché serait le même que le premier. Puce est dans l’impossibilité de chevaucher tous les 13 chevaux en 13 tours selon cette règle.
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