Corrigé Exercice 1 : MANÈGE SPIN FLY.
Question 1 :
DéterminerV
D3/0 en utilisant la relation de composition des vecteurs vitesses puis la relation du champ des vecteurs vitesses d’un solide.1/0 .z0 .z1 2/1 .x1 .x2 3/2 .z2 .z3
0 / 1 D 1 / 2 D 2 / 3 D 0 / 3
D
V V V
V
Avec
3 2
3 2
/ 3 2
/ 3 B 2 / 3
D
V DB c . x . z c . . y
V
2 1
3 1
/ 2 1
/ 2 B 1 / 2
D
V DB c . x . x c . . sin . z
V
0 0
2 2
0 0
3 0
/ 1 0
/ 1 O 0 / 1
D
V DO ( c . x b . z ) . z ( c . cos . x c . sin . y b . z ) . z
V
2 1
2 1
0 / 1
D
). x c . . cos . y c . . sin . cos . x
sin( 2 . sin . . c y . cos . . c
V
NB : Afin de comparer ce résultat avec celui du TD09, où ce vecteur était exprimé dans la base 3, nous devons projeter ce dernier (mais ce n’était pas demandé dans cet exercice…).
2 2
2 0
/ 1
D
c . . cos .(cos . y sin . z ) c . . sin . cos . x
V
) y . sin x . .(cos cos . sin . . c ] z . sin ) x . sin y . .(cos .[cos cos . . c
V
D1/0
3
3
3
3
3) y . sin x . .(cos cos . sin . . c ] z . sin ) x . sin y . .(cos .[cos cos . . c
V
D1/0
3
3
3
3
33 2
3 3
3 3
2 0
/ 1
D
c . . cos . cos . y c . . cos . cos . sin . x c . . cos . sin . z c . . sin . cos . cos . x c . . sin . cos . y
V
3 3
0 / 1
D
c . . cos . y c . . cos . sin . z
V
Donc :
2 3
0 / 3
D
c .( . cos ). y c .( . sin . sin . cos ). z V
On peut déjà conclure que cette méthode est plus rapide et plus sûre que celle par la dérivation vectorielle, car elle ne nécessite aucun
raisonnement annexe pour traduire la condition d'appartenance.
z2
y2 2
1 x x
y1
z1
y3
x3 3
2 z z
x2
y2
y1
x1 1
0 z z
x0
y0
Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.
De plus ce résultat est bien identique au TD09.
Corrigé Exercice 2 : CAMION BENNE.
Question 1 :
DéterminerV
B2/0 en utilisant la relation de composition des vecteurs vitesses puis la relation du champ des vecteurs vitesses d’un solide.B1=B2 car le mouvement de 2/1 est une translation : donc
2/1 0
. Attention R1
R2 car l’origine se déplace.0 / 1 B 1 / 2 B 0 / 2
B
V V
V
Avec
1 / 2 M 1 / 2 1
/ 2 M 1 / 2
B
V BM V
V
Il faut donc déterminer
V
B2/1 par la dérivation vectorielle car on ne connaît aucune vitesse de 2/1 (mouvement de translation).1 1 1 1
1 1 1
1 1 / B 1
/ B 1 / 2
B
. x
dt x . d x dt .
x . d dt
B O V d
"
2 B
"
V
V
1 1
0 / 1 0
/ 1 O 0 / 1
B
V BO . x . z . . y
V
Donc
V
B2/0 . x
1 . . y
1y1
x1
z
x0
y0
0 0
/
1
. z
Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.
De plus ce résultat est bien identique au TD09.
Corrigé Exercice 3 : BRAS MANIPULATEUR.
Question 1 :
DéterminerV
C3/0 en utilisant la relation de composition des vecteurs vitesses puis la relation du champ des vecteurs vitesses d’un solide.1/0 .z0 .z1 2/1 .x1 .x2
0 / 1 C 1 / 2 C 2 / 3 C 0 / 3
C
V V V
V
Avec
Il faut déterminer
V
C3/2 par la dérivation vectorielle car on ne connaît aucune vitesse de 3/2 (mouvement de translation).2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 / C 2
/ C 2 / 3
C
. z
dt z . d z dt .
z . d dt
BC d dt
C O V d
"
3 C
"
V
V
2 1
2 1
/ 2 1
/ 2 B 1 / 2
C
V CB . z . x . . y
V
1 1
0 1
2 0
/ 1 0
/ 1 A 0 / 1
C
V CA ( . z a . y ) . z . . sin . x a . . x
V
Donc :
2 2 1
0 / 3
C
( . sin a ). . x . . y . z V
z2
y2 2
1 x x
y1
z1
y1
x1 1
0 z z
x0
y0
z
2. BC
Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.
De plus ce résultat est bien identique au TD09.
Corrigé Exercice 4 : ROBOT À PARALLÉLOGRAMME DÉFORMABLE.
Question 1 :
Selon la structure en parallélogramme, que peut-on dire sur les bases B1, B2, B3 et B4 ? En déduire les 2 figures planes définissant les 2 paramètres d’orientation.B1=B4 et B2=B3 donc
1/4
2/3 0
.
1/0
4/0 . z
2/0
3/0 . z
Question 2 :
Déterminer le torseur cinématique de chaque mouvement élémentaire.
0
z . V
A 1/0 A0 / 1 A 0 / 1
V
0
z ).
(
V 0
C3 / 0 0 / 4 3 C
/ 4 C
3 / 4 C 3 / 4
V
0
z . V
A 2/0 A0 / 2 A 0 / 2
V
0
z ).
( V 0
B 1 / 0 0 / 3 1 B
/ 3 B
1 / 3 B 1 / 3
V
0
z ).
( 0
V
A1 / 0 0 / 2 1 A
/ 2 A
1 / 2 A 1 / 2
V
0
z ).
( 0
V
E2 / 0 0 / 4 2 E
/ 4 E
2 / 4 E 2 / 4
V
Question 3 :
En déduire les torseurs cinématiques de V4/0
et V3/0
.
. V4/0 V4/2 V2/0
V2/0
Avec
0 z ).
(
E 2 / 4
V
A 2/0 2/0 E 2 E 2
0 / 2 0 E
/ 2 E
0 / 2 A E
0 /
2
D . . y
z . z
. x . D
z . EA
V V
0 z .
V
Donc
E 2 E 2
E 0 /
4
D . . y
z . y
. . D
z . 0
z ).
(
V
Toujours vérifier que le résultatobtenu est homogène à une vitesse angulaire et une vitesse linéaire.
Ne pas oublier d'indiquer le point de réduction.
1 4
y y
1 4
x x
z
x0
y0
2 3
y y
2 3
x x
Si 2 figures planes ont le même vecteur commun, alors regrouper
ces 2 figures sur la même figure.
V3/0 V3/1 V
1/0
Avec
V
1/0 Avec
0 z ).
(
B 1 / 3
V
A 1/0 1/0 B 1 B 1
0 / 1 0 B
/ 1 B
0 / 1 B A
0 /
1
L . . y
z . z
. x . L
z . BA
V V
0 z .
V
Donc
B 1 B 1
B 0 /
3
L . . y
z . y
. . L
z . 0
z ).
(
V
Question 4 :
En déduire le vecteur vitesseV
J3/0. 3 méthodes pour déterminerV
J3/0 :a) Par dérivation vectorielle : 3/0 /0 /0 0
0 0
" 3 "
J J J
dO J d AJ
V V J V
dt dt
…
b) Par composition suivie de la relation du champ des vecteurs vitesse :
3/0 3/1 1/0
3/1 3/1
J J J
J B
V V V
avec V V
3/1
1/0 1/0
J A
JB et V V
JA 1/0
…
c) En utilisant une vitesse déjà calculée dans les questions précédentes :
V
J3/0 V
B3/0 JB
3/0 L . . y
1 H . x
3 . z L . . y
1 H . . y
3(méthode la plus rapide des trois, mais il faut connaître au moins une vitesse du mouvement de 3/0…)
Question 5 :
Déterminer la trajectoireT
J3/0 lorsque le moteur M2 est à l’arrêt et 0
.Le mouvement de 3/0 est une translation circulaire (compte tenu de la structure en parallélogramme avec le coté fixe [AE], et les cotés tournant de longueur [EC]=[AB]=L).
Par conséquent, la trajectoire
T
J3/0 est un arc de cercle d’axe ( , )K z , de centre K (4ème sommet du parallélogramme ABJK avecAK H . x
0 ) et de rayon L.Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse
angulaire et une vitesse linéaire.
Question 6 :
Déterminer la trajectoireT
J3/0 lorsque le moteur M1 est à l’arrêt et3
. Le mouvement de 3/0 est une rotation d’axe ( , )B z .Par conséquent, la trajectoire
T
J3/0 est un arc de cercle d’axe ( , )B z , de centre B et de rayon [BJ]=H.Question 7 :
Tracer sur une figure la surface liée àR
0 dans laquelle se déplace le point J lorsque
et
varient dans les limites précédemment définies (les deux moteurs fonctionnent).Compte-tenu des résultats précédents, le domaine PQRS que peut décrire l’extrémité J du bras 3 du robot par rapport à 0 est délimité par les quatre arcs de cercle suivants :
- arc de cercle d’axe ( 1, )K z , de centre K1, de rayon L (tel que AB1QK1 parallélogramme).
- arc de cercle d’axe ( 2, )K z , de centre K2, de rayon L (tel que AB2SK2 parallélogramme).
- arc de cercle d’axe ( 1, )B z , de centre B1, de rayon H.
- arc de cercle d’axe ( 2, )B z , de centre B2, de rayon H.
Les points K1 et K2 définissent les positions extrêmes du point K et les points B1 et B2 celles du point B.
(voir vidéo sur site du professeur)
Corrigé Exercice 5 : RÉGULATEUR DE WATT.
Question 1 :
Déterminer l’expression du vecteur vitesse instantanée de rotation
5/0.Avant tout calcul, TOUJOURS REALISER des figures planes définissant les paramètres d’orientation.
0 01 0 /
1
. z
1 12 1 /
2
. y
1 14 1 /
4
. y
1 24 2 /
4
. y
Et B5=B1 car le mouvement de 5/1 est une translation. Donc
5/1 0
. Attention R5
R1 car l’origine se déplace.0 01 0 / 1 1 / 5 0 /
5
. z
Question 2 :
Déterminer l’expression littérale du torseur cinématique V1/0
exprimé en O
1, puis du
torseur cinématique V2/1
exprimé en O
2.
exprimé enO
2.
) 1 z , 1 y , 1 x 01 ( O 1 01 0 O
/ 1 O
0 / 1 O 0 / 1
0 0 0 0 0 0
z . V
1 1 1
1
V
) 2 z , 2 y , 2 x ( 12 O 2 12 1 O
/ 2 O
1 / 2 O 1 / 2
0 0 0
0 0 0
y . V
2 2 2
2
V
Question 3 :
En déduire le torseur cinématique V2/0
exprimé en O
2.
V2/0 V2/1 V
1/0
Avec :
V
1/0 Avec :
0 y .
212 O 1 / 2
2
V
12 01 1
1 01 1 O
01 1 12 1 12
1 01 0 O
/ 1 1 2 0 / 1 O
0 / 1 0 O
/ 1 O
0 / 1 O 1 01 O 0 /
1
R . . y
z . z
. ) z . L x . R (
z . O
O V
0 V z .
2 1 2
2 2
1 2
V
Donc
1 01 12
1 01 2 12 O 0 /
2
R . . y
z . y
.
2
V
NB : L'utilisation de l'écriture en colonne serait trop longue et plus fastidieuse, puisqu'il faudrait exprimer ces deux vecteurs dans la même base (donc réaliser des projections…).
Ne pas indiquer de vecteur dans une écriture en colonne.
Ne pas oublier d'indiquer le point de réduction.
Ne pas oublier d'indiquer la base d'expression seulement dans une écriture en colonne.
Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse angulaire et une vitesse linéaire.
y1
x1
x0
y0
01
01
0 1
z z
x2
z2
z1
x1
x4
z4
12
1 2 4
y y y 12
24
24
14
14
Question 4 :
Déterminer l’expression littérale du vecteur vitesse O 2/0V
3 . Avec O 2/0V
2 calculé dans la question précédente, etV
O 2/0V
O 2/0O
3O
2 2/02
3
) z . y
. ( z . L y . . R
V
O 2/0 12 01 1 23 2 12 2 01 13
1 12 01
23 2 12 23 1 01 12 0 / 2
O
R . . y L . . x L . . sin . y
V
3
2 12 23 1 01 12 23
12 0
/ 2
O
( R L . sin ). . y L . . x
V
3
Question 5 :
Déterminer l’expression littérale du vecteur accélération O 2/03
.0 2 12 23 1 01 12 23
12 0
0 / O 0
/ O 3
0 / O 0 / 2
O
dt
) x . . L y . ).
sin . L R ((
d dt
V d
"
2 O
"
33 3
3
0 12 2
23 2 12 23 0 01 1
12 23 12 1 01 12 23 12 01 12 12
23 0 / 2
O
dt
x . d . L x . . dt L
y . d ).
sin . L R ( y . ).
sin . L R ( . cos . .
3
L
1 1/0 1 01 1 1 01 1
0
d y .
y z y x
dt
2 2/0 2 12 2 01 1 2 12 2 01 12 1 01 12 1 12 2
0
( ) sin( ) cos
2
d x x y z x z y y z
dt
) z . y . cos . .(
. L x . . L
x . ).
sin . L R ( y . ).
sin . L R ( . cos . . L
2 12 1 12 01
12 23 2 12 23
1 2 01 12 23 12 1 01 12 23 12 01 12 12
23 0 / 2 O3
2 212 23 2 12 23 1 01 12 23 12 12 12
01 23 1
2 01 12 23 12 0
/ 2
O
( R L . sin ). . x 2 . L . . . cos ( R L . sin ). . y L . . x L . . z
3
Toujours calculer les dérivées des vecteurs unitaires en dehors de l'expression globale demandée, cela évite de nombreuses erreurs.
Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une vitesse linéaire.
Toujours donner le résultat dans l'ordre croissant des bases, puis dans l'ordre croissant des vecteurs, exemple :
V
A2/1 ? . x
1 ? . y
1 ? . z
1 ? . x
2 ? . y
2 ...
Toujours vérifier que le résultat obtenu est homogène à une accélération linéaire.
