E557. Arithmétique dans un carrousel
Quatorze chevaux en bois sont installés sur le pourtour circulaire d’un carrousel. Puce aimerait bien faire le même nombre de tours de manège afin de les chevaucher les uns après les autres mais il n’a pas assez d’argent de poche. A l’occasion de Noël, le forain promet la gratuité de ces quatorze tours de manège à la condition que Puce prouve au préalable qu’il peut respecter la règle suivante : entre deux tours, l’enfant doit se déplacer toujours dans le sens des aiguilles d’une montre et le nombre de chevaux qui séparent le cheval qu’il vient de quitter et celui qu’il va monter est un entier strictement inférieur à 14 et toujours différent des précédents . Puce demande l’aide de Zig pour trouver la bonne séquence mais Zig est définitivement fâché avec l’arithmétique.
Q₁ Pouvez-vous aider Puce à effectuer gratuitement ses quatorze tours de manège ?
Q₂ Le jour de l’an, un cheval est enlevé du carrousel pour réparation. Le forain renouvelle son offre à Puce. Pouvez-vous aider à nouveau Puce à effectuer gratuitement les treize tours de manège ?
Solution proposée par Jérôme Pierard
Soient N entiers consécutifs de 1 à N et N entiers consécutifs de 0 à N-1
Existe-t-il toujours un réarrangement des N entiers consécutifs de 1 à N de telle manière que les N-1 déplacements qui les unissent deux à deux (sauf le premier et le dernier) soient des entiers distincts appartenant à {1 ; N-1} € N ? (chaque écart correspond au déplacement moins 1)
Quelle est la somme des N-1 déplacements entre les éléments d’une telle suite ? N impair
Si N=2k+1, cette somme est égale à 2k²+k qui est congru à 0 (modulo 2k+1=N).
Au bout de N-1 déplacements on retombe donc forcément sur le cheval de départ.
Q2 : Si N=13, il n’est pas possible de faire les 13 tours gratuitement.
N pair
Si N=2k, cette somme est égale à 2k²-k qui est congru à k (modulo 2k=N).
Il y aura donc une différence de k entre le premier et le dernier terme de la suite.
Une stratégie générale gagnante consiste à suivre la progression suivante (les écarts sont entre parenthèses) :
1 (2k-2) 2k (1) 2 (2k-4) 2k-1 (3) 3 (2k-6) 2k-2 (5) 4 (2k-8) 2k-3 (7) 5 ….
Q1 : Si N = 14 on a 1 (12) 14 (1) 2 (10) 13 (3) 3 (8) 12 (5) 4 (6) 11 (7) 5 (4) 10 (9) 6 (2) 9 (11) 7 (0) 8