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D667. Quatorze de moyenne

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Academic year: 2022

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D667. Quatorze de moyenne

Q1/ Tangentes Aire(ABC) =p

(p(p−a) (p−b) (p−c))=√

21×8×7×6=42 Comme les cˆot´es sont des nombres entiers de cm, et l’aire un nombre entier de cm2, il y a au moins une hauteur de longueur un nombre entier de cm, effec- tivement :

AD= 2×42/14 = 12cm

On trouve enACD le triangle pythagoricien9×12×15ou3×4×5, et en ABDle triangle pythagoricien5×12×13. D’o`u :

tg(C) = 4/3b tg(B) = 12/5b

tg(A) =b tg(CAD\ +DAB) = 56/33\ Q2/ Partage en 4

Les point X, Y et Z doivent ˆetre sur des parall`eles aux cˆot´es au quart de la hauteur de fa¸con que les aires deAXB,BY C,CZAsoient le quart de l’aire ABC. XY Z a donc aussi l’aire voulue.

Les coordonn´ees barycentriques normalis´ees de ces points sont (0.25,0.75− a, a) avec les rotations ad-hoc. Les conditions d’alignement AZX, BXY, CY Z conduisent `a l’´equation :

a2−0.75a+ 0.252= 0 ⇒ a= 0.0955

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