Problème proposé par Pierre Jullien
Soit ABC un triangle de côtés AB = 13, BC = 14 et CA = 15.
Q₁ Déterminer les tangentes des angles de ce triangle.
Q₂ Construire, à la règle et au compas, trois points X, Y et Z tels que les segments AX , BY et CZ déterminent quatre triangles de même aire.
Q1 : Utilisons les notations habituelles, BC=a, CA=b, AB=c, 2p=a+b+c, S l’aire de ABC, R et r les rayons des cercles inscrits et circonscrits, nous avons
S=abc/4R=rp=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), sinA/a=sinB/b=sinC/c=1/2R, et les relations d’Al- Kachi : cosA=(b2+c2-a2)/2bc, cosB=(c2+a2-b2)/2ca, cosC=(a2+b2-c2)/2ab ; donc
tanA=sinA/cosA=(a/2R)(2bc/(b2+c2-a2))=4S/(b2+c2-a2), et de même
tanB=4S/(c2+a2-b2) et tanC=4S/(a2+b2-c2). Ici, p=21, S=√(21*7*6*8)=4*3*7=84, 4S=336 ; b2+c2-a2=140, c2+a2-b2=252, a2+b2-c2=198 donc
tanA=12/5, tanB=4/3, tanC=56/33.
Q2 : Soient les points D, E, F respectivement sur BC, CA, AB, X=AD∩BE, Y=BE∩CF, Z=CF∩AD ; les parallèles à AD passant par Y, BE passant par Z, CF passant X coupent respectivement BC, CA et AB en J, K et L.
Aire(AXB)=Aire(XYZ), donc XA.XB=XY.XZ ou XA/XZ=XY/XB=DJ/DB=FL/BL ; de même, YB/YX=YZ/YC=EK/EC=DJ/CJ et ZC/ZY=ZX/ZA=FL/FA=EK/AK.
En choisissant D, E et F de façon à que XA/XZ=YB/YX=ZC/ZY=λ ; BY=BX+XY : donc λ2=λ+1 et λ=φ=(1+√5)/2. De plus, BD=CJ, et BD/BC=1/(2+φ)=1/2-√5/10, ce qui permet la construction de D à la règle et au compas, à partir du milieu de BC, on divise en 5 le segment obtenu et on construit √5 de façon classique.
De même pour E et F.
