Quatorze de moyenne
Problème D667 de Diophante
Proposé par Pierre Jullien
Soit ABC un triangle de côtés AB = 13, BC = 14 et CA = 15.
Q1 Déterminer les tangentes des angles de ce triangle ?.
Q2 Construire, à la règle et au compas, trois points X, Y et Z tels qu'avec les côtés du triangle ABC, les segments AX , BY et CZ partagent celui-ci en quatre triangles de même aire.
Solution
Le triangle ABC est la réunion de deux triangles pythagoriciens ABH et ACH, tels que :
AH = 12, BH = 5 et HC = 9.
Ainsi, il apparaît : tg(B) = 12/5 tg(C) = 4/3
tg(A) = 56/33, après calcul de tg(B+C).
La construction demandée n'a rien à voir avec la question qui précède ; elle est purement affine.
Notons a = AY/YX , b = BZ/ZY, c = CX/XZ Ces nombres mesurent respectivement AY, BZ, CX relativement à XY, YZ, ZX choisis comme unités.
Les triangle AXC, BYA, CZB ont pour aires respectives : S*(1+a)*c, S*(1+b)*a, S*(1+c)*b, où S est l'aire du triangle XYZ.
Afin que ces triangles aient même aire que le triangle XYZ, il faut avoir la triple égalité : (1+a)*c = (1+b)*a = (1+c)*b = 1
Calculons : c = 1/(1+a) b = 1/a - 1
d'où (1+1/(1+a))*(1/a - 1) = 1 ou encore 2*a*a + 2*a = 2
dont la solution positive est 1/phi , où phi est le nombre d'or (encore lui !).
Ainsi a = b = c = 1/phi = phi -1
et A = phi*Y – X/phi B = phi*Z – Y/phi C = phi*X – Z/phi
Tous calculs faits, on obtient :
4*X = (2-phi)*A + B + (1+phi)*C 4*Y = (1+phi)*A +(2-phi)*B + C 4*Z = A + (1+phi)*B + (2-phi)*C
Notons x, y, z les intersections respectives de AX avec BC, de BY avec CA et de CZ avec AB.
Le point x d'intersection AX avec BC est barycentre de B et C affectés de coefficients proportionnels à 1 et 1+phi.
Pour le construire, on peut prendre un point v arbitraire sur CA ; construire le point u sur CA tel que uv = (1+phi)*Cv ; mener de v la droite parallèle à uB, qui coupe BC en x. Ensuite, obtenir y et z par des méthodes analogues.
D'où le résultat :
En prime, pour ceux qui aiment travailler sur quadrillage :
