Polygones équiangles
Problème D657 de Diophante
Prouver qu'il est possible de construire un hexagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2018, 2019, 2020, 2021, 2022 et 2023.
Prouver qu'il est possible de construire un dodécagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017 et 2018.
Pour les plus courageux: montrer qu'il est possible de construire pour tout entier k ≥ 1, un 6k-gone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 1, 2, 3, , 6k.
Solution
Ici un polygone est une liste circulaire de vecteurs, dont la somme est nulle.
Lemme 1 Soit P = [L1,U, L2, V, L3] où L1, L2, L3 sont des listes de vecteurs où les vecteurs U et V sont d’orientation opposée alors [L1,U+W, L2, V-W, L3] est aussi un polygone.
Lemme 2 Soit P = [U1,U2, ... , Um] et Q = [V1,V2, ... , Vn] alors [ W1,W2, ... , Wm+n], où les W sont les U ou les V fgurent une seule fois chacun, est aussi un polygone.
Sur papier triangulé, par essais et erreurs, on trouve deux hexagones convexes équiangles non-isométriques, dont les mesurent sont respectivement : 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
[1,5,3,4,2,6] [1,4,5,2,3,6]
Il sufft, selon le lemme 1, d’allonger chaque paire de côtés parallèles de 2017 unités, pour obtenir la première preuve.
Pour la deuxième preuve, commençons par l’obtention d’un dodécagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 .
Pour cela, soit le polygone équiangle [U1,U2,U3,U4,U5,U6] dont les côtés (rouges) mesurent 1, 2, 3, 4, 5, 6 et le polygone équiangle [V1,V2,V3,V4,V5,V6] dont les côtés (bleus) mesurent 7, 8, 9, 10, 11, 12 et sont décalés de 30° par rapport aux côtés du polygone précédent. Alors [U1,V1,U2,V2,U3,V3,U4,V4,U5,V5,U6,V6] est un dodécagone équiangle, selon le lemme 2.
Il sufft, selon le lemme 1, d’allonger chaque paire de côtés parallèles de 2006 unités, pour obtenir la deuxième preuve.
Remarque : Modulo les similitudes (directes et indirectes), on prouve qu’il n’y a que deux hexagones équiangles dont les côtés mesurent : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pour les dodécagones, il y en a beaucoup, vu la méthode utilisée pour en obtenir un.
Enfn, l’entier k étant fxé, choisissons k hexagones équiangles dont les
longueurs des côtés sont respectivement égales de 1 à 6, de 7 à 12, … , de 6k-5 à 6k et dont les angles sont respectivement décalés de π/3/k.
Ceci étant, pour obtenir un 6k-gone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 1, 2, 3, , 6k, il sufft d’ordonner les k premiers vecteurs des hexagones choisis puis les k deuxièmes vecteurs jusqu’aux k sixièmes vecteurs.
