Q D657. Polygones équiangles ****

D657. Polygones équiangles ****

Prouver qu'il est possible de construire un hexagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2018, 2019, 2020, 2021, 2022 et 2023.

Prouver qu'il est possible de construire un dodécagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017 et 2018.

Pour les plus courageux: montrer qu'il est possible de construire pour tout entier k ≥ 1, un 6k-gone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 1,2,3,...,6k.

Proposition Th Eveilleau

Q

L’hexagone étant équiangle, chacun de ses angles mesure obligatoirement 120° car la somme des angles d’un hexagone convexe est de (6-2)*180°=720°.

Ceci implique que les côtés opposés de cet hexagone sont parallèles deux à deux car nous avons tourné de 180°=3*60° (3 fois (180°-120°=60°) pour arriver d’un côté au côté opposé à celui-ci.

En prolongeant les côtés de cet hexagone nous obtenons 6 triangles équilatéraux à l’extérieur de cet hexagone.

FB = FD = BD. Il s’ensuit les relations entre les longueurs des côtés de l’hexagone : a + b + c = a + f + e = e + d + c

Nous avons donc :

b + c = f + e ET a + f = d + c

Avec les nombres proposés : 2018, 2019, 2020, 2021, 2022 et 2023., nous avons : 2019 + 2020 = 2021 + 2018 ET 2022 + 2021 = 2023 + 2020

On peut prendre b =2019 ; e = 2018 ; f = 2021 ; c = 2020 ; d = 2023 ; a = 2022.

Ces dernières relations nous donnent bien : a + b + c = a + f + e = e + d + c.

L’hexagone est donc bien constructible :

Q

Le dodécagone étant équiangle, chacun de ses angles mesure obligatoirement 150° car la somme des angles d’un dodécagone convexe est de (12-2)*180°=1800°.

Ceci implique que les côtés opposés de ce dodécagone sont parallèles deux à deux car nous avons tourné de 180°=6*30°, (6 fois (180°-150°=30°) pour arriver d’un côté au côté opposé à celui-ci.

Tous les petits triangles coloriés en jaune, tracés extérieurement au décagone, sont isocèles avec deux angles à la base de 30°. L’angle au sommet de ces triangles isocèles est donc de 120°.

Et chacun des triangles colorés en gris, est un triangle équilatéral car ayant à la base deux angles de 60°.

Nous obtenons deux grands triangles équilatéraux RPQ et SUT car ils ont deux angles à la base de 60°.

RQ = d / + e + 2 f / + g + 2 h / + i + j / PR = b / + a + 2 l / + k + 2 j / + i + h /

En choisissant des côtés dont les longueurs sont des entiers, nous égalisons les parties entières et les parties irrationnelles.

Nous obtenons pour les entiers :

a + c + e = e + g + i = a + k + i Il s’ensuit :

a + c = g + i ET a + k = g + e ET c + e = k + i Pour les parties irrationnelles :

l + 2b + 2d + f = d + 2f +2h + j = b + 2l + 2j + h Il s’ensuit :

(1) l + 2b + d = f + 2h + j ET (2) d + 2f + h = b + 2l + j ET (3) b + 2d + f = 2j + h + l Ces dernières relations mènent à :

(1) -> d = f + 2h + j -2b – l avec (2) => f + 2h + j -2b – l + 2f + h = b +2l + j SOIT 3h + 3f = 3 b +3l

DONC f + h = b + l ET f + d = j + l

Ces conditions sont nécessaires, mais elles sont aussi suffisantes pour construire le polygone désiré.

Avec les nombres proposés, on peut choisir :

a = 2007 ; c = 2012 ; g = 2010 ; i = 2009 ; k = 2017 ; e = 2014 ; f =2015 ; h = 2011 ; b = 2008 ; l = 2018 ; d =2016 ; j = 2013.

Cela donne le dodécagone avec les dimensions suivantes.

Attention, ce dodécagone n’est pas parfaitement à l’échelle.

Q

Le 6k-gone étant équiangle, chacun de ses angles mesure obligatoirement 180 - 60/k car la somme des angles d’un dodécagone convexe est de (6k - 2) * 180° = (1080*k - 360)° ET

chaque angle mesure (1080*k - 360)°/(6k) = 180° - 60°/k .

Pour k=1, avec les nombres : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ET les relations trouvées au Q1 : b + c = f + e ET a + f = d + c

nous trouverons avec un décalage numérique de 2017 : 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023

 ’hexagone dont les côtés consécutifs mesurent par exemple (il y a d’autres solutions) : 1, 4, 5, 2, 3, 6.

Pour k=2, avec les nombres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ET les relations trouvées au Q2 , Nous trouverons avec un décalage numérique de 2006 :

2007, 2008, 2012, 2016, 2014, 2015, 2010, 2011, 2009, 2013, 2017, 2018

 dodécagone dont les côtés consécutifs sont par exemple : 1, 2, 6, 10, 8, 9, 4, 5, 3, 7, 11, 12.

Pour k=3, chaque angle mesure 160°.

Le côté « tourne de 20° vers le suivant à l’extérieur. Nous aurons toujours quel que soit k, un diviseur de 60° pour cet angle.

ET comme précédemment, nous pourrons travailler avec un triangle équilatéral autour du 6k-gone.

Chaque côté du triangle équilatéral aura pour longueur la somme des ‘projetés’ de 3*3 côtés du 6k- gone. Ceci nous mènera vers des égalités de somme semblables aux précédentes.

Ces égalités de sommes nous donneront comme ci-dessus k groupes de solutions possibles pour la construction du 6k-gone.