Pesée(s) minimale(s)
Problème A733 de Diophante
Proposé par Bernard Vignes
Parmi 100 pièces d’apparences identiques alignées sur une même rangée, 26 sont fausses et occupent des places consécutives. Les 74 autres pièces ont le même poids tandis que les pièces fausses sont toutes plus légères.
On dispose d’une balance Roberval à deux plateaux.
Question 1 - Déterminer le nombre minimum de pesées, qui permettent de repérer une seule pièce fausse.
Question 2 - Déterminer le nombre minimum de pesées, qui permettent de repérer au moins deux pièces fausses.
Solution
Numérotons les pièces, de gauche à droite, de 0 à 99.
Ci-dessus, sont représentées (en couleur, ligne par ligne) toutes les positions possibles des fausses pièces
Question 1
Il suffit de comparer, en une pesée, les pièces de rang 25 et 74 pour repérer une pièce fausse.
Si la balance est à l'équilibre (en rouge), les pièces 25 et 74 sont lourdes (trop distantes pour être fausses ensemble) alors les pièces 48, 49, 50 et 51 sont fausses.
Si la balance n'est pas en équilibre, la pièce la plus légère est fausse.
Question 2
Comparons, en une pesée, les pièces de rang 25 et 74.
Si la balance est à l'équilibre, alors les pièces 48, 49, 50 et 51 sont fausses.
Si la balance n'est pas en équilibre, la pièce la plus légère est fausse. Une pesée supplémentaire suffit pour repérer une deuxième pièce fausse, en comparant une pièce voisine de la pièce fausse à la pièce lourde.
Nota L'énoncé ne précise pas si les pièces fausses ont même poids. Ce n'est pas nécessaire !
