La balance en penchant à nouveau du côté gauche permet de confirmer que F4,F5,F6et F sont bien fausses

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A702 – Les pièces suspectes Solution

On suppose que les pièces supposées vraies sont identifiées par Diophante sous les numéros

31 2 1,V,...,V

V et que les pièces fausses sont repérées par F₁,F₂,...,F₃₁. Les cinq pesées réalisées par Diophante sont les suivantes :

1^ère pesée : F contre ₁ V . Si la balance penche du côté droit, le diagnostic de Diophante ₁ concernant F est bon ₁

2^ème pesée : F₁,V₂,V₃ contre V₁,F₂,F₃. La balance penchant du côté gauche, Diophante prouve bien que F et ₂ F sont bien fausses. ₃

3^ème pesée : F₁,F₂,F₃,V₄,V₅,V₆,V₇ contre V₁,V₂,V₃,F₄,F₅,F₆,F₇. La balance en penchant à nouveau du côté gauche permet de confirmer que F₄,F₅,F₆et F sont bien fausses. ₇

4^ème pesée : F₁,F₂,F₃,F₄,F₅,F₆,F₇,V₈,V₉,V₁₀,V₁₁,V₁₂,V₁₃,V₁₄,V₁₅ contre

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

1,V,V,V,V,V,V,F,F,F ,F ,F ,F ,F ,F

V . La balance en penchant à nouveau du

côté gauche permet de confirmer que F₈,F₉,F₁₀,F₁₁,F₁₂,F₁₃,F₁₄ et F sont bien fausses. ₁₅ 5^ème pesée : F₁,F₂,....,F₁₄,F₁₅,V₁₆,V₁₇,....,V₃₀,V₃₁ contre V₁,V₂,....,V₁₄,V₁₅,F₁₆,F₁₇,....,F₃₀,F₃₁. On arrive bien au bout des 31 pièces fausses.

On voit que le processus peut se poursuivre avec 2ⁿ 2 pièces dont la moitié soupçonnées être fausses. Il faudrait n-1 pesées pour prouver qu’elles sont bien fausses.