E6906 – Zig joue la Pythie [**** à la main]
Zig annonce à Puce : « J’ai classé selon mon bon vouloir les entiers naturels allant de 1 à un million en deux catégories : les bons et les mauvais ».
Puce : « Comment puis-je savoir si un entier n quelconque est bon ou mauvais »
Zig (à la manière de la Pythie de Delphes) : « Je ne répondrai jamais directement sur la nature de ce nombre n. Pour tout entier k que tu choisis, distinct ou non de n, la seule question que tu pourras me poser sera de la forme : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de l’entier k ?
En réponse, je te donnerai cette somme.
Supposons, juste à titre d’exemple, que j’ai décidé que 1 et 6 sont bons et que 2 et 3 sont mauvais et supposons que tu choisisses k = 6, à la question : quelle est la somme des bons entiers diviseurs de 6, ma réponse serait 7.
En posant autant de questions que tu le souhaites avec des entiers k de ton choix, tu dois parvenir à identifier la nature de l’entier n que tu as initialement choisi. »
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n avec lesquels une seule question permet à Puce de savoir s’ils sont bons ou mauvais.
Q₂ Puce peut-il savoir en une seule question si l’entier 2019 est bon ou mauvais ? si l’entier 2020 est bon ou mauvais ?
Q₃ Trouver un entier n > 2020 pour lequel Puce doit poser deux questions afin de connaître sa nature.
Q4 Trouver un entier n, si possible le plus petit, pour lequel Puce doit poser trois questions afin de connaître sa nature.
Q5 Démontrer que pour tout n inférieur ou égal à un million, Puce peut connaître sa nature en posant quatre questions au plus.
Solution proposée par Diophante
Les bonnes questions que doit poser Puce reposent sur les propriétés de la fonction σ(n) d’un entier naturel n qui est la somme des diviseurs de n, y compris 1 et lui-même.
A partir de la factorisation de l’entier n, on calcule σ(n) selon la formule :
puis le ratio k = σ(n)/n qui détermine le niveau d’abondance de l’entier n.
Ainsi si k ≥ 2, n est appelé nombre abondant . Pour n ≤ 50,les entiers abondants sont recensés dans les cases vertes du tableau ci-après :
On sait également déterminer pour toute valeur entière k ≥ 1 le plus petit entier n tel que σ(n) ≥ k.n.
La suite correspondante de ces entiers figure dans l’OEIS sous la rubrique A023199 : 1,6,120,27720,122522400,130429015516800,19770992304700453905270400,etc…
Il en résulte que :
6 est le plus petit entier tel que σ(6) = 12 = 2.6,
120 = 2³.3.5 est le plus petit entier tel que σ(120) = 360 = 3.120,
27720 = 2³.3².5.7.11 est le plus petit entier tel que σ(27720) = 110880 = 4.27720
122522400 = 2⁵.3².5².7.11.13.17 est le plus petit entier tel que σ(122522400) = 612612000 = 5.122522400 etc….
Q₁
Soit s(n) la réponse donnée par Zig quand Puce lui demande la somme des bons diviseurs de n.
Puce connait σ(n). Supposons que σ(n) < 2n. On a donc s(n) ≤ σ(n) < 2n Deux cas de figure :
- si s(n) < n, alors n ne figure pas dans la liste des bons diviseurs et c’est donc un mauvais entier.
- si s(n) > n, comme s(n) < 2n, n figure nécessairement dans la liste des bons entiers.
En considérant tous les entiers n qui sont des nombres premiers p tels que σ(p) = p + 1 < 2p on obtient une infinité d’entiers avec lesquels une seule question suffit.
Q₂
Comme σ(2019)= σ(3.673) = σ(3).σ(673) = 4.674 = 2696 < 2.2019, une seule question suffit pour savoir si 2019 est bon ou mauvais.
A l’inverse σ(2020) = σ(2².5.101) = σ(2²).σ(5).σ(101) = 7.6.102 = 4284 > 2.2020. Une seule question ne suffit pas car si 2020 < s(2020) < 4040 alors s(2020) peut être obtenu avec 2020 bon ou 2020 mauvais.
Par exemple s(2020) = 2040 = 2020 + 10 + 5 + 4 + 1 = 1010 + 505 + 404 + 101 + 20
Q₃
Avec n = 2022, on a 2022 = 2.3.337. Les huit diviseurs de n sont 1,2,3,6,337,674,1011,2022.
D’où σ(2022) = 3.4.338 = 4056 > 2.2022.Deux questions au moins peuvent s’avérer nécessaires.
Soit si(n) la réponse donnée à la iième question avec l’entier n.
Si s₁(2022) < 2022, alors 2022 est mauvais. Si s₁(2022) > 4056 – 2022 = 2034, alors 2022 apparaît obligatoirement dans la somme des bons diviseurs et 2022 est bon.
Si s₁(2022) = 2022, on peut avoir s₁(2022) = 1011 + 674 + 337, une seconde question de la forme s₂(337)?
avec 337 nombre premier permet de savoir si 337 est bon ou mauvais et a contrario si 2022 est mauvais ou bon.
Même raisonnement avec s₁(2022) = 2022 + x avec x entier compris entre 1 et 12, on a des relations du type 2022 + a₁ + a₂ + …= 1011 + 674 + 337 + b₁ + b₂ + …= avec a₁ + a₂ +..= b₁ + b₂ + les ai et bjétant choisis parmi l’ensemble {1,2,3,6}.La deuxième question s₂(337)? permet de lever l’ambiguïté comme
précédemment..
Q₄
Réponse : n = 24.
D’après Q₁, on connaît la nature de tout entier n tel que σ(n) < 2n avec une seule question.
Deux questions au moins sont donc nécessaires avec les entiers abondants.
A partir du tableau de Q₁ qui recense ces entiers dans l’ordre croissant 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, on va déterminer le nombre minimal de questions qm(n) qui permettent de déterminer leur nature.
Soit si(n) la réponse donnée à la iième question avec l’entier n.
n = 6. On a σ(6) = 12.
Si s₁(6) < 6 6 mauvais et si s₁(6) > σ(6) – 6 = 6 6
Si s₁(6) = 6,alors s₂(3)? Si 3 est bon 6 est mauvais et si 3 est mauvais 6 est bon.
D’où qm(6) = 2
n = 12. On a σ(12) = 28.
S i s₁(12) < 12 12 mauvais et si s₁(12) > σ(12) – 12 = 16 12 bon.
Si s₁(12) = 12 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 2 + 1, alors s₂(6)? Si s₂(6) > 0 12 mauvais et si s₂(6) = 0 12 bon.
Si s₁(12) = 13 = 12 + 1 = 6 + 4 + 3 = 6 + 4 + 2 + 1, alors s₂(4)? Si 4 est bon, 12 est mauvais et si 4 est mauvais, 12 est bon.
Si s₁(12) = 14 = 12 + 2 = 6 + 4 + 3 + 1, alors s₂(3)? Si 3 est bon 12 est mauvais et si 3 est mauvais 12 est bon.
Si s₁(12) = 15 = 12 + 3 = 12 + 2 + 1 = 6 + 4 + 3 + 2,alors s₂(4)? Si 4 est bon, 12 est mauvais et si 4 est mauvais, 12 est bon.
Si s₁(12) = 16 = 12 + 4 = 12 + 3 + 1 = 6 + 4 + 3 + 2 + 1,alors s₂(2)? Si 2 est bon, 12 est mauvais et si 2 est mauvais, 12 est bon.
D’où qm(12) = 2
n=18. On a σ(18) = 39.
Si s₁(18) < 18 18 mauvais et si s₁(18) > σ(18) – 18 = 21 18 bon.
Si s₁(18) = 18 ou 19 ou 20 ou 21, par exemple 19 = 9 + 6 + 3 + 1 ou 20 = 18 + 2 = 9 + 6 + 3 + 2,s₂(9)?
Comme qm(9)= 1,Si s₂(9) > 0 18 mauvais et si s₂(9) = 0 18 bon.
D’où qm(18) = 2
n = 20.On a σ(20) = 42.
Si s₁(20) < 20 20 mauvais et si s₁20) > σ(20) – 20 = 22 20 bon.
Si s₁(20) =20 ou 21 ou 22 ou 20, par exemple 20 = 10 + 5 + 4 + 1 ou 21 = 20 + 1 = 10 + 5 + 4 + 2,s₂(10)?
Comme qm(10) = 1,si 10 bon 20 mauvais et si 10 mauvais 20 bon.
D’où qm(20) = 2
n = 24. On a σ(24) = 60.
Si s₁(24) < 24 24 mauvais et si s₁(24) > σ(24) – 24 = 36 24 bon.
Si s₁(24) = 30 = 24 + 6 = 24 + 3 +2 + 1 = 12 + 8 + 6 + 4 = 12 + 8 + 6 + 3 + 1 = 12 + 8 + 4 + 3 + 2 + 1.
Comme qm(6) = qm(12) = 2 et que les autres diviseurs de 24 (1,2,4,8) apparaissent au plus dans trois partitions sur les cinq, trois questions sont nécessaires pour déterminer la nature de 24.
D’où qm(24) = 3
Le tableau ci-après récapitule les valeurs de qm(n) pour les entiers n abondants ≤ 60.
Q₅ (d’après la réponse officielle donnée au problème n°5 de Bay Area Mathematical Olympiad 2019) 1) Dans Q₁, on a constaté qu’une seule question permet de déterminer la nature de tout nombre premier p.
2) Une seule question suffit aussi avec toute puissance d’ordre a entier > 1 d’un nombre premier p.
Soit n = pa. On a σ(pa) = 1 + p + p² + ….+ pa. .
Comme 1 + p + p² + ..pa-1 = (pa+1 – 1)/(p – 1) < pa(p/p- 1) < 2pa, on a donc σ(n) < 2n..
3) Supposons que n a au moins deux facteurs premiers, nous pouvons donc écrire n = pa qb X, où p et q sont les deux plus petits nombres premiers trouvés dans la factorisation de n, a et b > 0, X est un entier dont la factorisation ne contient ni p ni q (sachant que X peut être égal à 1).
Comme 2*3*5*7*11*13*17 = 510510 < 1 000 000 et 2*3*5*7*11*13*17*19 > 1 000 000, X contient au plus 5 nombres premiers différents.
On vérifie à ce stade que quel que soit le choix des facteurs premiers de X on a l’inégalité :
σ(X) < X.(5² -1)/(5 – 1)*(7²- 1)/(7 – 1)*(11² - 1)/(11 - )*(13² - 1)/(13- 1)*(17²- 1)/(17 -1) = 17017/9216X soit σ(X) < 2X.
On considère l’ensemble D des diviseurs d de n qui sont des multiples paqb et qui sont de la forme paqbx
avec x entier qui est l’un des diviseurs de X.
La somme des diviseurs d est égale à pa qb σ(X) < 2 pa qb X = 2n. La somme des diviseurs de D autres que n est donc strictement < n. On en déduit que n est bon si et seulement si la somme des entiers bons de D est supérieure ou égale à n et a contrario n est mauvais.
Soit E l'ensemble de tous les diviseurs de n et soient P et Q les diviseurs de n/pet n/q, respectivement. Il apparaît que P Q est le complément de D (puisque l'appartenance dans P garantit que l'exposant de p est trop petit et l'appartenance à Q fait de même pour q). Par le principe d'inclusion-exclusion, les éléments de D peuvent être obtenus en commençant par les diviseurs bons de n contenus dans E puis en supprimant les éléments de P et les éléments de Q et enfin en rajoutant les éléments de P Q qui sont les diviseurs de n/(pq).
Par conséquent, la somme des éléments bons de D est donnée par S = s₁(n) – s₂(n/p) – s₃(n/q) + s₄(n/(pq)) qui nécessite seulement quatre questions. Si S > n alors n est bon, sinon si S < n alors n est mauvais.
Vérification avec n = 1260 = 2².3².5.7 n a 36 diviseurs :
1,2,3,4,5,6,7,9,10,12,14,15,18,20,21,28,30,35,36,42,45,60,63,70,84,90,105,126,149,180,210,252, 315,420, 630 et 1260 σ(1260) = 7.13.6.8 = 4368 n est abondant avec σ(1260)/1260= 3.46666… > 3
L’ensemble D est constitué des quatre entiers {36,180,252,1260}.
Supposons hypothèse H₁ que dans cette liste les entiers bons sont 2,4,7,15,45,63,90,126,180,315,420 et hypothèse H₂ les mêmes entiers + 1260.
Avec H₁ :
Les entiers bons de D sont donc 36 et 180 s₁(1260) = 1416,
s₂(1260/2) = s₂(630) = 2+7+9+15+45+63+90+126+315 = 672, s₃(1260/3) = s₃(420) = 2 + 4 + 7 + 15 + 20 + 84 + 420 = 552 s₄(1260/6) = s₄(210) = 2 + 7 + 15 = 24
On a S = s₁(1260) – s₂(630) – s₃(420) + s₄(210) = 1416 – 672 – 552 + 24 = 216 = 36 + 180 qui est bien la somme des entiers bons de D.
Comme S < 1260, on en déduit que 1260 est mauvais.
Avec H₂ :
Les entiers bons de D sont 36,180 et 1260
s₁(1260) = 2676, s₂(630)= 672, s₃(420) = 552, s₄(210) = 24, S = 1476 Comme S > 1260, on en déduit que 1260 est bon.
