F145 – Nombres croisés
Commentaire :
Diophante a reçu de Philippe Laugerat une grille de nombres croisés sur le thème des puissances n- ièmes de nombres entiers.
A son habitude, mal organisé, Diophante a égaré la liste des définitions qui accompagnaient la grille mais comme sa mémoire
reste encore à peu près bonne, il a pu les reconstituer à l'exception d'une seule. Dans les définitions des nombres placés
à l'horizontale, il y a une deuxième puissance d'un nombre premier autre que H. Il ne se souvient plus si c'est B ou G.
En résolvant cette grille, pouvez-vous aider Diophante à rafraîchir sa mémoire?
Solution de Philippe Laugerat
1
èreoption B est puissance huitième d’un nombre premier
(B) = 118 de par sa définition
On recherche les puissances de 2 à 9 qui possèdent 9 chiffres, avec les seulement les carrés des nombres premiers.
puissance 2 3 4 5 6 7 8 9
quantité 2172 535 76 23 9 5 1 1
… … … … 113 379 904 148 035 889 191 102 976 244 140 625 308 915 776 387 420 489 481 890 304 594 823 321 729 000 000
105 413 504 170 859 375 268 435 456 410 338 673 612 220 032
214 358 881 134 217 728
Puis pour colonnes (a), (b) et (c), les carrés commençant respectivement par 1 (4143), 3 (2679) et 4 (2361) On soumet à la calculatrice qui renvoie 2 grilles possibles.
Grille 1 Grille 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 3 4 2 1 7 7 2 8 (B) 2 1 4 3 5 8 8 8 1 (C) 1 7 0 8 5 9 3 7 5 (D) 2 4 4 1 4 0 6 2 5 (E) 6 0 1 6 9 2 0 5 7 (F) 4 9 2 8 8 4 4 0 1 (G) 1 8 1 3 2 1 4 9 6 (H) 4 5 9 3 7 3 4 8 9
(I) 4 6 6
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 3 4 2 1 7 7 2 8 (B) 2 1 4 3 5 8 8 8 1 (C) 6 1 2 2 2 0 0 3 2 (D) 1 4 8 0 3 5 8 8 9 (E) 3 8 0 2 0 4 0 3 2 (F) 5 7 7 2 0 0 6 2 5 (G) 3 2 8 5 0 9 0 0 0 (H) 6 0 4 8 1 5 6 4 9
(I) 1 1 9
Dans la grille 2 on ne peut ajuster les chiffres de (f) pour que leur somme soit un carré.
Il reste à ajuster le dernier chiffre des colonnes (d) à (i) de la grille 1, pour que leur sdf soit un carré.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 3 4 2 1 7 7 2 8 (B) 2 1 4 3 5 8 8 8 1 (C) 1 7 0 8 5 9 3 7 5 (D) 2 4 4 1 4 0 6 2 5 (E) 6 0 1 6 9 2 0 5 7 (F) 4 9 2 8 8 4 4 0 1 (G) 1 8 1 3 2 1 4 9 6 (H) 4 5 9 3 7 3 4 8 9 (I) 4 6 6 2 8 2 0 8 7
Contrôles
(A) Puissance neuvième 134 217 728 = 89
(B) Puissance huitième d'un nombre premier 214 358 881 = 118 11 premier
(C) Puissance septième 170 859 375 = 157
(D) Puissance sixième 244 140 625 = 256
(E) Puissance cinquième 601 692 057 = 575
(F) Puissance quatrième 492 884 401 = 1494
(G) Puissance troisième 181 321 496 = 5663
(H) Puissance deuxième d'un nombre premier 459 373 489 = 21 4332 21 433 premier (I) Puissance première 496 208 487 = 496 208 4871
(a) Carré 121 264 144 = 11 0122
(b) Carré 317 409 856 = 17 8162
(c) Carré 440 412 196 = 20 986
(d) Sdc est un carré 238 168 332 Sdc = 36 = 62 (e) Sdc est un carré 155 498 278 Sdc = 49 = 72 (f) Sdc est un carré 789 024 132 Sdc = 36 = 62 (g) Sdc est un carré 783 604 440 Sdc = 36 = 62 (h) Sdc est un carré 287 250 988 Sdc = 49 = 72 (i) Sdc est un carré 815 571 697 Sdc = 49 = 72
2
èmeoption : G est le cube d’un nombre premier
On recherche les puissances de 2 à 9 qui possèdent 9 chiffres, avec les seulement les carrés et les cubes des nombres premiers.
puissance 2 3 4 5 6 7 8 9
quantité 2172 535 76 23 9 5 3 1
… … … … 113 379 904 148 035 889 191 102 976 244 140 625 308 915 776 387 420 489 481 890 304 594 823 321 729 000 000
105 413 504 170 859 375 268 435 456 410 338 673 612 220 032
100 000 000 214 358 881 429 981 696
134 217 728
Puis pour colonnes (a), (b) et (c), les carrés commençant respectivement par 1 (4143), 3 (2679) et 4 (2361) On soumet à la calculatrice qui renvoie 2 grilles possibles.
Grille 1 Grille 2
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 3 4 2 1 7 7 2 8 (B) 4 2 9 9 8 1 6 9 6 (C) 4 1 0 3 3 8 6 7 3 (D) 5 9 4 8 2 3 3 2 1 (E) 2 5 4 8 0 3 9 6 8 (F) 8 1 5 7 3 0 7 2 1 (G) 4 2 3 5 6 4 7 5 1 (H) 8 4 1 5 2 2 0 8 1
(I) 4 9 6
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 3 4 2 1 7 7 2 8 (B) 4 2 9 9 8 1 6 9 6 (C) 4 1 0 3 3 8 6 7 3 (D) 5 9 4 8 2 3 3 2 1 (E) 2 5 4 8 0 3 9 6 8 (F) 8 1 5 7 3 0 7 2 1 (G) 4 2 3 5 6 4 7 5 1 (H) 8 4 1 9 8 6 2 8 9
(I) 4 9 6
Dans la grille 2 on ne peut ajuster les chiffres de (d) pour que leur somme soit un carré.
Il reste à ajuster le dernier chiffre des colonnes (d) à (i) de la grille 1, pour que leur sdf soit un carré.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A) 1 3 4 2 1 7 7 2 8 (B) 4 2 9 9 8 1 6 9 6 (C) 4 1 0 3 3 8 6 7 3 (D) 5 9 4 8 2 3 3 2 1 (E) 2 5 4 8 0 3 9 6 8 (F) 8 1 5 7 3 0 7 2 1 (G) 4 2 3 5 6 4 7 5 1 (H) 8 4 1 5 2 2 0 8 1 (I) 4 9 6 2 0 8 4 8 7
Contrôles
(A) Puissance neuvième 134 217 728 = 89
(B) Puissance huitième d'un nombre premier 429 981 696 = 128
(C) Puissance septième 410 338 673 = 177
(D) Puissance sixième 594 823 321 = 296
(E) Puissance cinquième 254 803 968 = 485
(F) Puissance quatrième 815 730 721 = 1694
(G) Puissance troisième 423 564 751 = 7513 751 premier
(H) Puissance deuxième d'un nombre premier 841 522 081 = 29 0092 29 009 premier (I) Puissance première 496 208 487 = 496 208 4871
(a) Carré 144 528 484 = 11 0122
(b) Carré 321 951 249 = 17 8162
(c) Carré 490 445 316 = 20 986
(d) Sdc est un carré 293 887 552 Sdc = 49 = 72 (e) Sdc est un carré 183 203 620 Sdc = 25 = 52 (f) Sdc est un carré 718 330 428 Sdc = 36 = 62 (g) Sdc est un carré 766 397 704 Sdc = 49 = 72 (h) Sdc est un carré 297 262 588 Sdc = 49 = 72 (i) Sdc est un carré 863 181 117 Sdc = 36 = 62
