RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

274 LA HOUILLE.BLANCHE

Transporter d'abord la victime dans u n local aéré où L'on ne conservera qu'un très petit n o m b r e d'aides, trois ou quatre, toutes les autres personnes étant écartées.

Desserrer les vêtements et s'efforcer, le plus rapidement ]>os&ible, de rétablir la respiration et la circulation.

Pour rétablir la respiration, on peut avoir recours princi- palement aux deux moyens suivants : la traction rythmée de la langue et la respiration artificielle.

Commencer toujours par la méthode de la traction de la langue, en appliquant en m ê m e temps, s'il est possible, la méthode de la respiration artificielle.

Chercher, concurremment, à ramener la circulation en frictionnant la surface du corps, en flagellant le tronc avec les mains ou avec des serviettes mouillées, -en jetant de temps en temps de l'eau froide sur la figure, en faisant res- pirer de l'ammoniaque ou du vinaigre.

i ° Méthode de la traction rythmée de la langue.

Ouvrir la bouche de la victime et, si les dents sont serrées, les écarter en forçant avec les doigts ou avec u n corps ré- sistant quelconque : morceau de bois, m a n c h e de couteau, dos de cuiller ou de fourchette, extrémité d ' u n e canne, etc.

F I G 2 E T 3 - - R E S P I R A T I O N A R T I F I C I E L L E

Saisir solidement la partie antérieure de la langue entre le pouce et l'index de la main droite, n u s ou revêtus d'un linge quelconque, d'un mouchoir de poche par exemple (pour empêcher le glissement), et exercer sur elle de fortes tractions répétées, successives, cadencées ou rythmées, suivies de relâ- chement, en imitant les mouvements rythmés de la respira- tion elle-même, au nombre d'au moins vingt par minute.

Les tractions linguales doivent être pratiquées sans retard et avec persistance durant une demi-heure, u n e heure, et plus, s'il le faut, sans se décourager.

2° Méthode de la respiration artificielle.

Coucher la victime sur le dos, les épaules légèrement sou- levées, la bouche ouverte, la langue bien dégagée.

Saisir les bras à la hauteur des coudes, les appuyer assez fortement sur les parois de la poitrine, puis les écarter et les porter au-dessus de la tête en décrivant u n arc de cercle ; les ramener ensuite à leur position primitive en pressant sur les parois de la poitrine. Répéter ces mouvements envi- ron vingt fois par minute, en continuant jusqu'au rétablis- sement de la respiration naturelle, rétablissement qui peut demander quelquefois plusieurs heures.

R É S I S T A N C E D E S M A T É R I A U X

F L E X I O N D E S T U Y A U X E N C I M E N T A R M É

L'application des tuyaux en béton armé aux conduites d'eau est, à l'heure actuelle, devenue tout à fait courante, et les règles théoriques et pratiques de construction de ces tuyaux sont bien connues. Dans ces applications, la résis-

tance à la pression interne est généralement seule mise en jeu, mais comme un tuyau bien conçu comporte nécessaire- ment des armatures longitudinales reliant entre elles les diverses armatures circulaires, on a en réalité u n e véritable poutre tabulaire, douée d ' u n m o m e n t d'inertie élevé, qui est susceptible de résister dans de bonnes conditions à la flexion, simple ou composée.

Dans le Génie Civil d u ^{I D} j u i n dernier, M . G a u f o u j e u e r ,

ingénieur des Ponts et Chaussées, a repris u n e étude sur le a calcul des tuyaux en béton armé soumis à des efforts de flexion » qu'il avait déjà entreprise dans le m ê m e journal technique en avril 1909, et est arrivé à des formules simples qui lui ont permis de construire un abaque au moyen duquel on peut résoudre rapidement un certain n o m b r e de pro- blèmes qui, de prime abord, paraissent assez compliqués.

F L E X I O N C O M P O S É E . — M . Caufourier a étudié le cas où, sur chaque section transversale, on peut facilement ramener l'ensemble des forces extérieures à une résultante unique F.

Soit r le rayon moyen du tube, e l'épaisseur d u béton,

£ celle d'un tube fictif d'acier qui aurait pour section la somme des sections des génératrices métalliques, 2 a l'angle au centre de l'arc intercepté sur le cercle moyen p a r la fibre neutre (le béton étant supposé ne pas travailler à la traction), P la composante (normale au plan de la section considérée) de la résultante F, par d la distance du point d'application de cette résultante (sur le plan de la section) au centre du tuyau, r¡ le rapport d/r ou excentricité de la charge, p le rapport 100 s/e, ou pourcentage d'armature métallique longitudi- nale travaillant à la flexion.

Soit également Rt et R ^c le travail élastique de l'acier, res- pectivement à la tension et à la compression, et R¿ la résis- tance du béton à la compression.

En appelant m le rapport des coefficients d'élasticité de l'acier et du béton et en posant m = 8 n , les relations aux- quelles arrive M. Caufourier, peuvent s'écrire :

Ri — m ( 1 4 - cos a) ^A

Rc — m ( 1 — cos a) ^{A (1)}

Rb — ( í — cos a) ^A

P i \

avec : A = • r (y ire COS t g a — a —^~ J

p, a et -q étant reliés entre eux par la relation :

4 2y] (sin a — a cos a) — a -f- s î n a COS a ^

71 I + 2r¡ C O S A

En prenant a et p comme coordonnées polaires, la rela- tion (3) représente une famille de courbes. 11 suffit de cons- truire u n certain n o m b r e de ces courbes pour avoir un aba- que d o n n a n t l'une des trois quantités y;, a ou p en fonction des deux autres.

Pour simlpifier les calculs, M. Caufournier a pris m — 1 6 , ce qui correspond à n = 2 . C'est sur cette base que l'abaque ci-joint a été établi. Toutefois, la circulaire ministérielle du 20 octobre 1906, relative à l'emploi du béton armé, dit qu'on pourra admettre que m peut varier de 8 à i 5 . Le minimum s'appliquant lorsque les barres longitudinales auront un dia- mètre égal au dizième de la plus petite dimension de la pièce, des ligatures ou entretoises transversales espacées de cette dimension, et des abouts peu éloignés des surfaces libres du béton. Le m a x i m u m s'appliquant lorsque le diamètre des barres longitudinales ne sera que le vingtième de la plus

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O C T O B B E LÀ HOUILLE BLANCHE 275

petite dimension de la pièce, et l'espacement des ligatures ou armatures transversales le tiers de cette m ê m e dimension (*).

Comme la relation (3) montre que p est inversement pro- portionnel à n, et par suite aussi à m , il suffira, pour se servir de l'abaque dans le cas d'un coefficient m' différent de 1 6 , de multiplier la valeur de p trouvée sur l'abaque par le rapport i 6 / m \

La disposition la plus avantageuse pour l'utilisation des matériaux est évidemment celle dans laquelle les armatures et le béton arrivent simultanément à la limite de travail im- posée. Or, on a :

Rt, ^{i I} Rt

c o s a I 0 a

m l + cos a ^m * 2 ^{( 4 )}

Si l'on se donne Rb et Rt, ainsi que m, il est facile d'en dé- duire l'angle a. Cet angle étant connu, on déterminera le pourcentage p par la formule ( 3 ) .

Si l'on fait : Rt = 1 2 . T oⁿ et Rb = 4 0 . 1 o⁴.

on a : a — p o u r ^m = 1 6 , et a — ^64?oj' p o u r ^m= 12

La méthode ci-dessus cesse d'être applicable lorsque la dis- tance d du point d'application de la force P devient égale a la moitié du rayon. C'est ainsi que pour d^r/i, ce qui correspond à Y J = I / 2 , on aurait :

p = £ ( s i n ^{a —}

aj

et comme sin a est toujours plus petit que a, il s'ensuit que {*) voir La Houille Blanche d'Août 1907, page 1 7 5 .

p devrait être négatif, ce qui, pratiquement, est absurde.

C'est-à-dire que lorsque le point d'application de la force P tombe à l'intérieur du tuyau, et à une distance de la paroi égale ou supérieure à la moitié du rayon, il y a partout compression, et tout renforcement contre les efforts de tension devient inutile. Ceci est d'ailleurs conforme aux indications de la règle du trapèze (*),

F l e x i o n s i m p l e . — Dans ce cas, les forces qui agissent sur la pièce se réduisent à un couple, c'est-à-dire que le point d'application de la résultante P est rejeté à l'infini. Il suffit donc de faire d= 20 et r^t = o dans la formule (3) pour obtenir la nouvelle expression de p , qui se simplifie considérable- ment et se réduit à :

4 (5)

Quant au terme fractionnaire , 4 , c o m m u n aux trois expres- sions des travaux élastiques R, il a, dans ce cas, pour valeur, en appelant M le m o m e n t fléchissant dans la section consi- dérée :

r~e tg a s m - a

Sur l'abaque reproduit ici, la courbe d'indicex> porte une graduation spéciale correspondant aux valeurs de la fonction trigonométrique du dénominateur de cette expression.

Dans le cas de la flexion simple, pour les taux de travail et pour les angles donnés ci-avant, le pourcentage p devrait être de 3,7.4 % pour m = 16, et de 2,61 % pour m— 12.

Dans son premier article d'avril 1909, M. Caufourier avait traité, à titre d'exemple, le cas d'un pont aqueduc sur le Chéliff. Dans le nouvel article de j u i n dernier, il traite Je cas d'une tour de prise d'eau, de 20 m. de hauteur, récem- ment construite au barrage de la Djidiouia, dans le dépar- tement d'Oran.

M. Caufourier a étudié séparément le cas de la ilexion sim- ple et celui de la Ilexion composée, en admettant, pour ce dernier cas, que l'on n'ait plus à envisager, sur la section con- sidérée, que l'action d'une force F, résultante unique de toutes les actions extérieures. Or, dans certains cas, il pourra être plus commode de séparer les forces perpendiculaires à l'axe du tuyau de celles qui lui sont parallèles, ainsi que leurs moments. Nous allons donc indiquer comment l'on peut, en appliquant la méthode de calcul suivie par M. Cau- fourier, établir pour p et pour R deux formules générales, dont les formules précédentes ne sont que des particuliers.

Les forces perpendiculaires à l'axe, qui n'occasionneraient que la flexion simple si elles étaient seules, provoquent un m o m e n t fléchissant M', tandis que les forces parallèles à l'axe provoquent de leur côté un m o m e n t fléchissant M". Si nous désignons ici par P la résultante de ces forces parai-, lèles à l'axe, et par M le m o m e n t fléchissant total, nous de- vons avoir (**) :

M = M' + A T - 3F + P(d—r cos y) ( 7 ) On sait que si l'on admet l'hypothèse de la répartition li- néaire des pressions, et si Ton désigne par E le coefficient

(*) La règle du trapèze d o n n e en effet : R=z P ^ + ~jr)- P

"A T2" / • Mais, / = -rte, d o n c R -

A la paroi îa plus t e n d u (x ~z — r), R d e v i e n d r a nui si d ^ r 2 (**) Voir la n o t e de îa page suivante.

276 LA HOUILLE BLANCHE № ^{I 0}

d'élasticité des matériaux employés, par cr la section d'une libre quelconque, par v la distance de cette fibre à la fibre neutre, par p le rayon de la courbure prise par cette fibre neutre, par § le rapport E/p, l'effort / développé dans la fibre quelconque est donné par la relation :

Eus

ZV

Le taux de travail auquel est soumis la libre; c'est-à-dire l'effort par unité de surface, est :

(8) Les règles générales de la Résistance des Matériaux nous donnent encore :

1 Y - = 25 ^ =P (9)

2fi> = 2*v*7=--M (io)

Prenons comme axe polaire l'intersection du plan de la section transversale considérée et du plan qui contient à la fois l'axe du tuyau et la résultante P , et désignons par o> l'an- gle que fait une fibre quelconque avec cet axe polaire (*).

Dans le cas qui nous occupe, la relation (9) peut s'écrire :

/•a

2 m i c o s t o — c o s a)dfo + 2 e r r2 / ( c o s t o — c o s a ) d m — P

P

SUI a — a cos a • ^{C O S} a = —

E lezr¹

( m )

lier2 / (COS

d'où :

De même, la relation ( t o ) peut s'écrire :

2 M ; : R:L

I

f

= J / ' + P(d— R C O S A )

d'où :

E

(

J / ' + p r f .

R c o s a 2 e C R> 2 E C R¹

Remarquons ici que 3a x vaut 100,53. Mais, étant donné 'l'incertitude qui subsiste sur la valeur exacte de m, et pai

suite de n, ainsi que sur la légitimité de l'hypothèse de la répartition linéaire des pressions, il n ' y a aucun inconvé- nient à prendre pour 3a % la valeur 100 en n o m b r e rond.

On peut donc écrire :

T.mz 1 0 0 m np

T

E 4 E

En divisant m e m b r e à m e m b r e les deux termes de la re- lation ( n ) par ceux de la relation (12)', il vient :

— UE ^{C O S A} _ | _ SJ N a — a C O S x p 4

— (~ -f c o s - a 4 \ 2

Posons :

3 • AT - sin 2 a + a c o s² a — ~f P ( y ] — c o s a )

4 R

Pr ^{( I 3 )}

(*) Ceci suppose q u e îe plan de flexion de M* coïncide avec celui de

\f\ S'il n'en était pas ainsi, il faudrait c h e r c h e r le plan de flexion du moment résultant de M* et de M\ et faire passer Taxe polaire par ce plan de flexion. En outre, dans l'équation ( 7 ) , il faudrait remplacer la s o m m e algébrique de ces deux moments par leur somme g é o m é t r i q u e . Le calcul donné plus loin resterait le même, et conduirait, pour (14) et (16),à des expressions de r r é m e forme, dans lesquelles il faudrait r e m -

placer (V - f Pj par ( V 4 . cos a ) , ? représentant ie rapport M :, Pr

Après calculs et s i m p l i f i c a t i o n s , o n a finalement, p o u r

déterminer p , la relation :

4 2 (y; + (sina — a cos a)

n '

a + S I N A cos a i + 2 (rt + a ) COS a

qui n'est pas autre chose que la relation ( 3 ) d a n s l a q u e l l e rt est remplacé par r\ + p., ce qui permet I r a d-e se s e r v i r de

l'abaque de M. Caufourier.

Dans le cas de la flexion simple, on a P = o , [x = 00 , ^ct il reste simplement la formule (5) de M. Caufourier.

Dans le cas où A/' = o, on a p,= o, et l'on retrouve la for- mule ( 3 ) .

De la relation (12) on tire la valeur de £ :

1 lW + P (d ^{— R} cos a ) 2 e rJ

4 \ * cos~ a H S I N 2a a + C O S2a 2 4

0 5 )

En portant dans la relation (8) la valeur de § ainsi trouvée, on obtient les valeurs de R correspondant aux diverses fibres, tant de béton que d'acier, dont l'ensemble constitue la paroi du tuyau.

Les valeurs maxima de R, qui sont pratiquement les seules à considérer, ont lieu pour les valeurs maxima de v ; on leu obtiendra donc en faisant v = r (1 ± cos a), ce qui conduit

aux trois expressions de la formule (Y).

Le coefficient A de ces formules n'est pas autre chose que le produit çr ; on. l'obtient donc immédiatement en multi- pliant par 7^s le second m e m b r e de la relation ( 1 0 ) .

Cette relation (i5) se simplifie beaucoup si on y remplace p par sa valeur tirée de (t/j). Elle donne alors :

A —

M' + P (d — r COS a ) 1 + 2 (r, + [L) COS a 2 e r (ri + \i — c o s a) s i n³ a ^{( 1 6 )} Dans le cas de la flexion simple, on a P = o, p,= , et l'on retrouve la formule (6).

Dans le cas où Af = 0, on a p.= o, et la formule (16) se réduit à :

P i + 2y; COS a 4 " =

2 r e s i n³ a ('7,'

Or il est facile de vérifier que cette formule ( 1 7 ) n'est pas autre chose que la formule (2), dans laquelle on a remplacé p p a r sa valeur tirée de la relation (3).

P o u r le calcul de la déformation des ouvrages en béton armé, il est .souvent d'usage, ainsi que le recommande d'ail- leurs l'article n de la circulaire précitée du 20 octobre 1906, de mettre e n compte la résistance du béton à l'extension, en admettant, bien que cela soit cependant peu correct, que le béton travaillant à l'extension conserve le m ê m e coeffi- cient d'élasticité que pour la compression.

Avec cette manière de faire, la flèche se déduira des for- mules usuelles, en p r e n a n t pour m o m e n t d'inertie celui de la section totale, c'est-à-dire celui déduit de l'expression :

/ = ( e + m s ) R3 :

La flèche ainsi trouvée sera u n peu inférieure à celle qu'on obtiendrait en n e faisant pas entrer en ligne de compte la résistance du béton à la traction, et en p r e n a n t pour / la- valeur qu'on déduirait des relations (10) et (nO-

Ï I . B .