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Diffusion Illustration de couverture : Messieurs Cauchy, Poisson, Fourrier et Lagrange accompagnés de

leurs formules et d’une (petite) partie de leurs descendances.

LES ÉDITIONS DE L’ÉCOLE POLYTECHNIQUE

É léments d’analyse et d’algèbre

(et de théorie des nombres)

Pierr e Colmez É léments d’analyse et d’algèbr e

Pierre Colmez

Pierre Colmez est professeur à l’École Polytechnique, en détachement du CNRS. C’est un arith- méticien dont la majorité des travaux concerne le monde p-adique.

Cet ouvrage est susceptible d’intéresser le bon élève de classe préparatoire, l’étudiant de L3, ainsi que toute personne ayant atteint ce niveau et cherchant à saisir le fonctionnement interne des mathématiques.

Cet ouvrage est issu d’un cours en première année à l’École Polytechnique. Il offre une introduction à trois des théories à la racine des mathématiques et recouvre une bonne partie du cursus de L3 à l’Université.

Les théories abordées sont :

- la théorie des représentations des groupes finis, qui est à la fois une extension naturelle de l’algèbre linéaire et une première approche de la transformée de Fourier, - l’analyse fonctionnelle classique (espaces de Banach et Hilbert, intégrale de Lebesgue,

transformée de Fourier),

- la théorie des fonctions holomorphes.

Le cours est complété par un chapitre « Vocabulaire Mathématique » (avec une soixantaine d’exercices corrigés) qui regroupe et précise des notions de base, vues en L1 et L2 ou pendant les classes préparatoires, et par 9 problèmes corrigés couvrant l’intégralité du programme.

La principale originalité de l’ouvrage vient de l’accent mis sur l’aspect culturel des mathéma- tiques. De nombreuses notes de bas de page proposent de petites excursions en dehors de l’auto- route des mathématiques utiles. Six appendices présentent des extraits de la littérature classique et moderne, accessibles avec le contenu du cours, qui illustrent l’unité des mathématiques en montrant comment les théories de base se combinent pour la résolution de problèmes naturels profonds. L’un d’entre eux est consacré au théorème des nombres premiers ; un autre est une introduction au programme de Langlands, qui occupe les arithméticiens depuis plus de 40 ans, et dont une des retombées les plus spectaculaires est la démonstration du théorème de Fermat.

ISBN 978-2-7302-1563-3

9 782730 215633

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É léments d’analyse et d’algèbre

(et de théorie des nombres)

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point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée.

Nous rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites.

Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70.

www.editions.polytechnique.fr

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TABLE DES MATIÈRES

Introduction . . . 1

Notations standard . . . 3

Bibliographie sommaire . . . 3

Vocabulaire Mathématique . . . 5

1. Grammaire élémentaire . . . 6

1.1. L’anneauZdes entiers relatifs . . . 7

1.2. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste . . . 9

1.3. Ensembles dénombrables . . . 9

2. Produits, sommes et quotients . . . 11

2.1. Produits et sommes . . . 11

2.1.1. Produits et sommes directes de groupes commutatifs . . . 11

2.1.2. Le cas des espaces vectoriels . . . 12

2.1.3. Produit et somme dans une catégorie . . . 13

2.2. Relations d’équivalence . . . 14

2.2.1. Relations d’équivalence et partitions . . . 14

2.2.2. Passage au quotient par une relation d’équivalence . . . 14

2.3. L’anneauZ/DZdes entiers relatifs moduloD . . . 15

2.4. Quotients d’espaces vectoriels . . . 18

2.5. Anneaux quotients . . . 19

2.6. Groupes quotients . . . 20

2.6.1. Groupe opérant sur un ensemble . . . 20

2.6.2. Classes de conjugaison . . . 22

2.6.3. Quotients de groupes . . . 23

3. Groupes ﬁnis . . . 24

3.1. Généralités sur les groupes . . . 24

3.2. Groupes cycliques . . . 25

3.2.1. Structure des groupes cycliques, ordre d’un élément . . . 25

3.2.2. Sous-groupes des groupes cycliques . . . 26

3.3. Groupes abéliens ﬁnis . . . 26

3.4. Le théorème de Lagrange et ses variantes . . . 27

3.5. Le groupe symétriqueSn . . . 28

3.5.1. Permutations . . . 28

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(5)

3.5.3. Groupe alterné . . . 31

3.6. Les théorèmes de Sylow . . . 33

4. Algèbre linéaire . . . 34

4.1. Généralités . . . 34

4.1.1. Endomorphismes . . . 34

4.1.2. Le théorème de Cayley-Hamilton . . . 34

4.1.3. Automorphismes . . . 35

4.1.4. Matrices . . . 35

4.1.5. Espaces propres, espaces caractéristiques . . . 35

4.1.6. Mise sous forme de Jordan . . . 36

4.2. Modules de torsion surK[T]et réduction des endomorphismes . . . 36

4.2.1. Anneaux et modules . . . 36

4.2.2. Structure des modules de torsion surK[T] . . . 37

4.2.3. Exemples . . . 38

4.2.4. Application à la réduction des endomorphismes . . . 39

4.3. Modules de torsion sur les anneaux principaux . . . 40

4.3.1. Généralités sur les idéaux . . . 40

4.3.2. Anneaux principaux . . . 41

4.3.3. Structure des modules de torsion sur un anneau principal . . . 44

5. Topologie . . . 47

5.1. Espaces topologiques . . . 47

5.1.1. Ouverts, fermés, voisinages . . . 47

5.1.2. Exemples . . . 48

5.1.3. Comparaison de topologies . . . 49

5.2. Espaces métriques . . . 49

5.3. Continuité . . . 50

5.4. Sous-espaces, produits, quotients . . . 51

5.4.1. Topologie induite . . . 51

5.4.2. Topologie produit . . . 52

5.4.3. Topologie quotient . . . 52

5.5. Espaces séparés . . . 53

5.6. Intérieur, adhérence, densité . . . 54

5.7. Suites dans un espace topologique . . . 55

5.7.1. Suites, suites extraites . . . 55

5.7.2. Suites et continuité . . . 55

6. Compacité . . . 56

6.1. Espaces compacts . . . 56

6.2. Compacité et suites . . . 57

6.3. Propriétés de base des compacts . . . 58

6.3.1. Compacts d’un espace topologique . . . 58

6.3.2. Compacts d’un espace métrique . . . 60

6.3.3. Compacité locale . . . 61

6.4. La droite réelle achevée . . . 62

6.4.1. Les espaces topologiques ordonnésRetR+ . . . 62

6.4.2. Limite supérieure, limite inférieure . . . 63

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(6)

7. Connexité . . . 64

7.1. Ensembles connexes . . . 64

7.2. Connexité par arcs . . . 66

8. Complétude . . . 68

8.1. Suites de Cauchy . . . 68

8.2. Principales propriétés des espaces complets . . . 69

8.3. Complétion d’un espace métrique . . . 71

9. Convergence de fonctions . . . 73

9.1. Convergence simple . . . 73

9.2. Convergence uniforme . . . 73

10. Espaces vectoriels normés . . . 74

10.1. Normes et applications linéaires continues . . . 74

10.2. La norme d’un opérateur . . . 75

10.3. Normes équivalentes . . . 76

10.4. La boule unité d’un espace vectoriel normé . . . 77

10.5. Applications bilinéaires continues . . . 77

10.6. Espaces préhilbertiens . . . 78

11. Tératologie . . . 79

11.1. Fonctions continues dérivables nulle part . . . 79

11.2. L’escalier du diable . . . 80

11.3. L’ensemble triadique de Cantor . . . 82

11.4. La courbe de Peano . . . 83

11.5. Ensembles connexes non connexes par arcs . . . 84

11.5.1. Le graphe desin¹_x . . . 84

11.5.2. Le tipi de Cantor . . . 85

12. Construction de nombres . . . 86

12.1. Entiers naturels . . . 87

12.2. Entiers relatifs, nombres rationnels . . . 87

12.3. Nombres réels, nombres complexes . . . 88

12.4. Nombresp-adiques . . . 89

12.4.1. Le corpsQp . . . 89

12.4.2. Construction algébrique deQp . . . 91

12.4.3. Topologie deQp . . . 92

12.4.4. Une description arboricole des nombresp-adiques . . . 93

12.4.5. L’anneau des nombres complexesp-adiques . . . 94

12.4.6. Fragments d’analysep-adique . . . 95

13. Corrigé des exercices . . . 97

Index du chapitre . . . 112

I. Représentations des groupes ﬁnis . . . 115

I.1. Représentations et caractères . . . 117

1. Représentations de groupes, exemples . . . 117

2. Caractère d’une représentation, exemples . . . 119

2.1. Caractères linéaires . . . 120

2.2. Sommes directes . . . 120

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(7)

3. Morphismes de représentations . . . 121

3.1. La représentationHom(V1,V2) . . . 121

3.2. Opérateurs d’entrelacement, représentations isomorphes . . . 122

I.2. Décomposition des représentations . . . 124

1. Décomposition en somme directe de représentations irréductibles . . . 124

2. Le lemme de Schur et ses conséquences immédiates . . . 126

3. Orthogonalité des caractères . . . 128

4. Applications du théorème principal . . . 129

4.1. Nombre des représentations irréductibles . . . 129

4.2. La décomposition canonique d’une représentation . . . 129

4.3. Un critère d’irréductibilité . . . 130

4.4. La décomposition de la représentation régulière . . . 131

5. Le cas des groupes commutatifs . . . 131

5.1. La transformée de Fourier . . . 131

5.2. Le groupe dual . . . 132

5.3. Le théorème de structure des groupes ﬁnis commutatifs . . . 134

6. Table des caractères d’un groupe ﬁni . . . 134

I.3. Construction de représentations . . . 138

1. Constructions tensorielles de représentations . . . 138

1.1. Produit tensoriel d’espaces vectoriels de dimension ﬁnie . . . 138

1.2. Produit tensoriel de représentations . . . 140

1.3. Carré symétrique et carré extérieur d’une représentation . . . 141

2. Représentations induites . . . 142

2.1. Caractère d’une représentation induite . . . 142

2.2. La formule de réciprocité de Frobenius . . . 143

2.3. Transitivité des inductions . . . 145

2.4. Les théorèmes d’Artin et de Brauer . . . 145

3. Exercices . . . 146

II. Espaces de Banach . . . 149

II.1. Espaces de Banach . . . 149

1. Convergence normale, séries sommables . . . 150

2. Espaces de suites . . . 151

3. Espaces de fonctions continues . . . 152

4. Complétion d’espaces vectoriels normés . . . 154

5. Applications linéaires continues entre espaces de Banach . . . 156

6. Le dual d’un espace de Banach . . . 158

II.2. Espaces de Hilbert . . . 159

1. Espaces de Hilbert . . . 159

1.1. Bases hilbertiennes . . . 160

1.2. Projection orthogonale sur un sous-espace fermé . . . 161

2. Le dual d’un espace de Hilbert . . . 162

3. Le théorème de projection sur un convexe . . . 164

II.3. Exercices . . . 165

1. Espaces de Banach . . . 165

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(8)

3. Séries de Fourier . . . 167

II.4. Espaces de Banachp-adiques . . . 168

1. Déﬁnition et exemples . . . 168

2. Bases orthonormales . . . 169

3. Le dual d’un espace de Banachp-adique . . . 171

III. Intégration . . . 173

III.1. Intégrale de Lebesgue . . . 173

1. Dallages et fonctions en escalier . . . 173

2. Ensembles de mesure nulle . . . 175

3. Fonctions mesurables, ensembles mesurables . . . 177

3.1. Fonctions mesurables . . . 177

3.2. La tribu des ensembles mesurables . . . 178

3.3. Fonctions mesurables et ensembles mesurables . . . 180

4. Déﬁnition de l’intégrale de Lebesgue . . . 181

4.1. Intégration des fonctions positives . . . 181

4.2. Mesure de Lebesgue d’un ensemble . . . 182

4.3. Intégration des fonctions sommables . . . 184

5. Les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée . . . 184

6. Premières applications . . . 186

III.2. Quelques espaces fonctionnels . . . 186

1. L’espaceL¹(X) . . . 186

2. L’espaceL²(X) . . . 188

3. Convergence dansL¹etL² . . . 189

4. EspacesL^p . . . 191

III.3. Intégrales multiples . . . 192

1. Le théorème de Fubini . . . 192

2. La formule du changement de variable . . . 195

3. L’intégrale de la gaussienne . . . 197

III.4. Construction de l’intégrale de Lebesgue . . . 199

1. Le théorème de convergence dominée pour les fonctions en escalier bornées . . . 199

2. Mesure et mesure extérieure des ensembles mesurables . . . 202

3. Le théorème de convergence monotone pour les fonctions bornées à support compact . . . 203

4. Limites simples p.p. de fonctions mesurables . . . 204

5. Le théorème de convergence monotone et ses conséquences . . . 205

IV. Transformée de Fourier . . . 207

IV.1. Intégrales dépendant d’un paramètre . . . 207

IV.2. Transformée de Fourier dansL¹ . . . 210

1. Caractères linéaires deRetR^m . . . 210

2. Déﬁnition et premières propriétés . . . 210

3. Le théorème de Riemann-Lebesgue . . . 211

4. Transformée de Fourier et dérivation . . . 212

IV.3. Formules d’inversion . . . 214

1. Séries de Fourier . . . 214

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(9)

2.1. Le cas du réseauZ . . . 217

2.2. Le cas d’un réseau quelconque . . . 219

3. La formule de Poisson . . . 221

4. La formule d’inversion de Fourier dansS . . . 222

5. Formules d’inversion dansL¹ . . . 223

IV.4. Transformée de Fourier dansL² . . . 225

1. Transformée de Fourier des fonctions en escalier . . . 225

2. Déﬁnition de la transformée de Fourier dansL² . . . 227

3. Comparaison des transformées de Fourier dansL¹etL² . . . 228

4. Dérivation . . . 229

V. Fonctions holomorphes . . . 231

V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes . . . 231

1. Séries entières . . . 231

2. Rayon de convergence d’une série entière . . . 233

3. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . 235

3.1. Déﬁnition . . . 235

3.2. Théorème des zéros isolés et unicité du prolongement analytique . . . 236

3.3. Principe du maximum . . . 238

V.2. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences . . . 239

1. Généralités sur les chemins . . . 239

2. Intégration le long d’un chemin . . . 240

3. Holomorphie des fonctions dérivables au sens complexe . . . 242

4. Construction de fonctions holomorphes . . . 244

4.1. Séries de fonctions holomorphes . . . 244

4.2. Produits inﬁnis de fonctions holomorphes . . . 246

4.3. Fonctions holomorphes déﬁnies par une intégrale . . . 247

V.3. Structure locale des fonctions holomorphes . . . 248

1. Le théorème d’inversion locale holomorphe . . . 248

2. Logarithme et fonctions puissances . . . 250

VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) . . . 253

VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy . . . 253

1. Vocabulaire de topologie algébrique . . . 253

2. Un cas particulier de la formule de Stokes . . . 254

3. Démonstration de la formule de Cauchy . . . 257

VI.2. Indice d’un lacet par rapport à un point . . . 259

1. Primitives . . . 259

2. Nombre de tours d’un lacet autour d’un point . . . 260

2.1. Déﬁnition . . . 260

2.2. Détermination visuelle de l’indice d’un lacet par rapport à un point . . . 261

VI.3. La formule des résidus de Cauchy . . . 264

1. Fonctions holomorphes sur une couronne . . . 264

2. Fonctions holomorphes sur un disque épointé ; résidus . . . 266

3. La formule des résidus . . . 269

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(10)

VII. Séries de Dirichlet . . . 273

VII.1. Séries de Dirichlet . . . 273

1. Abscisse de convergence absolue . . . 273

2. Demi-plan de convergence d’une série de Dirichlet . . . 275

VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin . . . 277

1. La fonctionΓdans le plan complexe . . . 277

2. Une formule intégrale pour les séries de Dirichlet . . . 280

3. Prolongement analytique de séries de Dirichlet . . . 281

VII.3. La fonction zêta de Riemann . . . 282

1. Séries de Dirichlet attachées à des fonctions multiplicatives . . . 282

2. Prolongement analytique de la fonctionζ . . . 284

3. Équation fonctionnelle de la fonction zêta . . . 285

4. Les zéros de la fonctionζ . . . 288

VII.4. FonctionsLde Dirichlet . . . 289

1. Caractères de Dirichlet et FonctionsLde Dirichlet . . . 289

2. Conducteur et sommes de Gauss . . . 290

3. Le théorème de la progression arithmétique . . . 291

4. Équation fonctionnelle des fonctionsLde Dirichlet . . . 293

VII.5. Autres exemples . . . 295

1. La fonction de Moebius . . . 295

2. La fonctionτ de Ramanujan . . . 296

VII.6. Exercices . . . 297

A. Le théorème des nombres premiers . . . 303

A.1. Introduction . . . 303

A.2. Les fonctionsψetψ1 . . . 306

1. Théorème des nombres premiers et comportement deψ1en+∞ . . . 306

2. Une formule intégrale pourψ1 . . . 308

A.3. Formules explicites . . . 309

1. Énoncé du résultat . . . 309

2. Les fonctionsLet ^L_L en dehors de la bande critique . . . 311

3. La fonctionLdans la bande critique . . . 312

4. La fonction ^L_L dans la bande critique . . . 313

5. Conclusion . . . 315

A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers . . . 316

1. Non annulation sur la droiteRe(s) = 1 . . . 316

2. Conclusion . . . 318

A.5. Compléments . . . 319

1. L’hypothèse de Riemann et ses conséquences . . . 319

2. L’hypothèse de Riemann et la fonctionMde Mertens . . . 319

3. L’hypothèse de Lindelöf . . . 320

B. Volume de SLn(R)/SLn(Z) . . . 321

B.1. Volume d’objets arithmétiques . . . 321

1. Résultats . . . 321

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(11)

3. Un dévissage du groupeSLn(R) . . . 326

4. Intégration surRⁿet surSLn(R)/SLn(Z) . . . 327

5. Apparition deζ(n)et ﬁn du calcul . . . 328

6. Résultats arithmétiques . . . 330

B.2. La mesure de Haar deSLn(R) . . . 331

1. Transvections et structure du groupeSLn(K) . . . 332

2. Invariance dedgpar translation . . . 334

3. DeSLn−1(R)àSLn(R) . . . 335

C. Groupes ﬁnis et représentations : exemples . . . 337

C.1. p-Groupes . . . 337

1. Généralités sur lesp-groupes . . . 337

2. Représentations desp-groupes . . . 338

C.2. Représentations du groupe symétriqueSn . . . 339

1. Partitions denet représentations deSn . . . 339

2. Diagrammes de Young et représentations deSn . . . 341

3. Caractères deSn . . . 342

C.3. Représentations deGL2(F) . . . 343

1. Le groupeGL2(F) . . . 343

2. Construction de représentations deGL2(F) . . . 343

3. Les classes de conjugaison deGL2(F) . . . 344

4. La table des caractères deGL2(F) . . . 346

5. Démonstrations . . . 347

D. Fonctions d’une variable p-adique . . . 353

D.1. Analyses fonctionnelles réelle etp-adique . . . 353

D.2. Fonctionsk-fois uniformément dérivables . . . 354

1. Fonctions de classeC^ket fonctions de classeCu^k . . . 354

2. Fonctions continues surZ^mp . . . 356

3. Coeﬃcients de Mahler des fonctions de classeCu^k . . . 357

D.3. Fonctions localement analytiques surZp . . . 358

1. Fonctions analytiques . . . 358

2. Fonctions localement analytiques . . . 360

3. Bases orthonormales d’espaces de fonctions localement analytiques . . . 361

4. Démonstration du lemme D.3.4 . . . 362

D.4. La fonctionζ p-adique . . . 363

1. Intégrationp-adique . . . 363

2. Les congruences de Kummer . . . 364

E. Le problème des nombres congruents . . . 367

E.1. Introduction . . . 367

E.2. Arithmétique des courbes elliptiques . . . 369

E.3. L’heuristique de Birch et Swinnerton-Dyer . . . 370

E.4. FonctionLd’une courbe elliptique . . . 371

E.5. La stratégie de Tunnell . . . 373

E.6. Formes modulaires . . . 374

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(12)

F. Introduction au programme de Langlands . . . 377

F.1. La conjecture d’Artin . . . 379

1. Le groupeGQ . . . 379

2. Représentations deGQ . . . 380

3. FonctionsLd’Artin . . . 382

4. FonctionsLde degré2 . . . 383

4.1. Représentations impaires et formes modulaires . . . 383

4.2. Représentations paires et formes de Maass . . . 385

5. La théorie du corps de classes . . . 386

F.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité . . . 388

1. Adèles . . . 389

1.1. Le théorème d’Ostrowski . . . 389

1.2. L’anneau des adèles deQ . . . 390

1.3. Le groupe des idèles deQ . . . 391

2. La formule de Poisson adélique . . . 392

2.1. Transformée de Fourier surQp . . . 392

2.2. Transformée de Fourier adélique . . . 394

3. Transformée de Mellin adélique et fonctionsL . . . 395

3.1. Intégration surQ^∗p . . . 395

3.2. Intégration sur le groupe des idèles . . . 395

3.3. Transformée de Mellin surQp . . . 397

3.4. La transformée de Mellin adélique . . . 397

3.5. Le théorème de Tate . . . 398

4. Application aux fonctionsLde Dirichlet . . . 400

4.1. La fonction zêta de Riemann . . . 400

4.2. FonctionsLde caractères deA^∗ . . . 400

4.3. Caractères de Dirichlet et caractères linéaires continus des idèles . . . 402

F.3. Le programme de Langlands . . . 402

1. Représentations automorphes . . . 402

2. Des formes modulaires aux représentations automorphes . . . 405

2.1. Préliminaires . . . 405

2.2. La forme automorphe associée à une forme modulaire . . . 405

2.3. La décomposition deGL2(A) . . . 406

3. Quelques autres aspects du programme de Langlands . . . 406

G. Problèmes corrigés . . . 409

G.1. Table des caractères deA5 . . . 409

G.2. Représentations deGL2(F3) . . . 415

G.3. Coeﬃcients de Fourier des fonctions continues . . . 420

G.4. Fonctions d’Hermite et transformée de Fourier dansL² . . . 422

G.5. Transformée de Fourier et convolution . . . 426

G.6. Loi d’addition sur une courbe elliptique . . . 430

G.7. Coeﬃcients de Fourier des fonctions analytiques . . . 436

G.8. Prolongement analytique d’intégrales et de séries . . . 438

G.9. Le théorème de Mordell-Weil . . . 445

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(13)

Index terminologique . . . 458

Énoncés mathématiques . . . 464

Index des noms propres . . . 466

Repères chronologiques . . . 468

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(14)

INTRODUCTION

Les mathématiques sont à la fois un outil d’une puissance surprenante, utilisé à des degrés divers par les autres sciences, et une des plus incroyables constructions collectives de l’humanité, s’appuyant sur des bases consolidées génération après génération pour permettre à l’édiﬁce de monter toujours plus haut.

Ce cours est une introduction à trois des théories qui servent de socle aux mathéma- tiques. La première (chap. I) est la théorie des représentations des groupes finis et de leurs caractères, développée dans les années 1895-1905 par F. Frobenius, W. Burnside et I. Schur. Cette théorie est une extension de l’algèbre linéaire (il s’agit de comprendre l’action simultanée de plusieurs isomorphismes sur un espace vectoriel de dimension fini, et donc l’action du groupe qu’ils engendrent), mais la théorie des caractères est aussi une première approche de la transformée de Fourier dans un cadre fini où les difficultés analytiques sont absentes. La théorie des représentations des groupes joue un rôle central en mathématiques, dans certaines branches de la physique (par exemple en physique des particules) ou encore dans une petite partie de la chimie classique (cristallographie) ; le cas des groupes finis sert souvent de guide pour deviner ce que l’on est en droit d’espérer dans des cas plus compliqués.

La seconde (chap. II, III et IV) est l’analyse fonctionnelle des années 1900-1930 (es- paces de Banach, intégration de Lebesgue, transformée de Fourier), dans laquelle se sont illustrés R. Baire, S. Banach, M. Fréchet, H. Hahn, D. Hilbert, H. Lebesgue, M. Plan- cherel, F. Riesz, H. Steinhaus... Cette théorie, née des préoccupations du siècle précédent concernant les équations diﬀérentielles, les équations aux dérivées partielles..., forme la base de l’analyse réelle moderne. Ses applications à l’étude des équations aux dérivées partielles provenant de la physique (équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger...) sont innombrables.

La dernière partie du cours (chap V, VI et VII) est consacrée à la théorie des fonctions analytiques d’une variable complexe, qui s’est développée entre les mains de A. Cauchy dans les années 1820-1840, mais a été revisitée régulièrement depuis ; la présentation suivie dans ce cours doit beaucoup aux apports de K. Weierstrass et de H. Poincaré datant de

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(15)

des groupes, celle qui est utilisée dans le plus grand nombre des autres branches des mathématiques ou de la physique théorique. Par exemple, la représentation conforme des ouverts du plan, à laquelle nous ne ferons qu’une brève allusion (note 1 du chap. VI), a des applications à l’étude de l’équation de la chaleur avec conditions au bord dans un domaine plan, à l’aérodynamique (transformation de Joukovski), à l’étude du mouvement brownien ou celle des polymères, etc.

Le problème majeur d’un cours de ce type est que l’on est conduit à privilégier les résultats qui ont le plus d’applications futures et à reléguer en exercice tout ce qui fait le sel des mathématiques, ce qui revient un peu à visiter une cathédrale en ne s’intéres- sant qu’aux consolidations successives de la base de ses piliers. Pour essayer de lutter contre cette tendance, nous avons privilégié des objets analytiques, issus de la théorie des nombres, ayant la faculté étonnante d’interagir avec quasiment tous les domaines des mathématiques (voire de la physique théorique) et, ce faisant, de contribuer fortement au développement de ces domaines. Il s’agit des fonctions L, dont la fonction zêta de Riemann (déﬁnie par ζ (s) =

_+∞

n=1 1

n^s

pour Re(s) > 1) est le prototype. L’un des premiers résul- tats remarquables concernant ces objets est probablement la célèbre formule ζ(2) =

^π₆²

de L. Euler (1734), répondant à une question posée en 1644 et connue sous le nom de

« problème de Bâle ». Le même Euler a mis au jour un lien heuristique entre la fonction ζ et la répartition des nombres premiers qui ne fut rigoureusement établi qu’en 1896 par J. Hadamard et C. de la Vallée Poussin en suivant une stratégie suggérée par B. Riemann en 1858. Entre-temps, G. Dirichlet avait introduit en 1837 les premières fonctions L pour démontrer l’existence d’une infinité de nombres premiers dans les progressions arithmé- tiques. L’annexe A, consacrée à ces résultats, fournit une illustration frappante de l’utilité des fonctions holomorphes pour attaquer des problèmes qui en semblent fort éloignés. De- puis, le monde des fonctions L s’est enrichi au point de former un édifice imposant dont l’annexe F essaie de donner une idée en partant de la constatation que, pour apprécier l’élégance et la majesté de la voûte de Notre-Dame, il n’est nul besoin de comprendre pourquoi elle ne s’écroule pas ni, a fortiori, comment on a fait pour la construire sans que tout tombe au fur et à mesure. Nous nous sommes restreint à l’aspect analytique des fonctions L ; celui-ci fait intervenir d’autres objets mathématiques ayant un don d’ubi- quité assez époustouflant, à savoir les formes modulaires que nous avons reléguées dans une série d’exercices en vertu du principe énoncé plus haut. Nous avons (presque) résisté à la tentation d’explorer les propriétés arithmétiques de ces fonctions L : leurs valeurs aux entiers cachent des trésors qui font l’objet de conjectures générales de P. Deligne (1977, dont la conjecture met en perspective le π

²

de la formule d’Euler, et la non apparition de π

³

pour ζ(3)), de A. Beilinson (1985, qui vise, en particulier, à expliquer quels objets interviennent dans ζ (3)) et de S. Bloch et K. Kato (1989, dont la conjecture donne une for- mule totalement générale fournissant, par exemple, une signiﬁcation à l’apparition de 691 dans la formule ζ (12) =

₃6·5⁶⁹¹³·7²^π·11·13¹²

). Un exemple de ces trésors cachés est la conjecture

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(16)

est consacrée.

Notations standard

On note

R

=

R∪ {±∞}

la droite réelle achevée, et

R+

=

R+∪ {+∞}

la demi-droite réelle achevée.

Si t

∈R, on note

[t] sa partie réelle, et

{t}

= t

−

[t], sa partie fractionnaire.

Si X est un ensemble, on note

|X|

son cardinal.

Si A est un anneau, et si n

∈N− {0}, on note Mn

(A) l’anneau des matrices n

×

n à coeﬃcients dans A,

GLn

(A)

⊂Mn

(A) le groupe des matrices inversibles (celles dont le déterminant est inversible dans A), et

SLn

(A) le sous-groupe de

GLn

(A) des matrices de déterminant 1.

Bibliographie sommaire

Le lecteur désirant approfondir

⁽¹⁾

certains des thèmes développés dans ce cours est invité à consulter les ouvrages ci-dessous. Ces ouvrages partent à peu près au même niveau que le présent cours, mais sont plus spécialisés, ce qui leur permet d’aller plus loin.

P. Biane, J-B. Bost et P. Colmez, La fonction zêta, Presses de l’École Polytechnique.

Le lecteur y trouvera divers aspects de la fonction zêta en lien avec l’arithmétique ou les probabilités.

J-B. Bost, Fonctions analytiques d’une variable complexe, École Polytechnique.

Couvre les chapitres V à VII, et une partie de l’annexe A.

D. Bump, Automorphic forms and representations, Cambridge University Press.

Version développée de l’annexe F ; sa lecture demande un investissement non négligeable.

H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann.

Couvre les chapitres V et VI, et poursuit en direction de la géométrie (surfaces de Riemann, et fonctions de plusieurs variables).

W. Ellison, Les nombres premiers, Hermann.

Couvre l’annexe A, et bien plus.

W. Fulton et J. Harris, Representation theory. A ﬁrst course, GTM 129, Springer-Verlag.

(1)La manière standard pour fabriquer des exercices est de prendre des résultats démontrés dans des ouvrages plus spécialisés et de les découper en questions. Le lecteur trouvera donc dans ces ouvrages la solution de la plupart des exercices de ce cours...

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(17)

de Lie.

R. Godement, Analyse mathématique II, III et IV, Springer-Verlag.

Couvre l’essentiel du cours, et de ce que j’aurais voulu y mettre, en prenant son temps, ce que son nombre de pages permet. Les formes modulaires y sont traitées avec le respect qu’elles méritent.

N. Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, GTM 97, Springer-Verlag.

Oﬀre un voyage à travers la théorie des nombres en prenant comme ﬁl conducteur le problème des nombres congruents (annexe E).

S. Patterson, An introduction to the theory of the Riemann Zeta-function, Cambridge University Press.

Couvre l’annexe A, et poursuit en direction des hypothèses de Riemann et Lindelöf.

W. Rudin, Real and complex Analysis, Mc Graw-Hill

Un cours d’analyse qui couvre en particulier la partie analyse du cours (chapitres II à VI), mais ne s’arrète pas là, loin s’en faut.

J-P. Serre, Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France.

Un fort joli livre pour en apprendre plus sur les formes quadratiques à coeﬃcients rationnels et les formes modulaires.

J-P. Serre, Représentations linéaires des groupes ﬁnis, Hermann.

Couvre le chapitre I et une partie de l’annexe C, et continue sur des sujets plus pointus concernant les représentations des groupes ﬁnis.

A. Weil, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer-Verlag.

Un livre semi-historique très agréable à lire, illustrant à un niveau élémentaire les liens entre les fonctions holomorphes et la théorie des nombres.

Enﬁn, voici deux livres portant sur l’histoire des idées mathématiques dont beaucoup de notes de bas de page du présent texte sont issues. Les périodes couvertes par ces deux ouvrages ne sont pas identiques bien qu’il y ait une intersection non vide ; celle du second est plus récente et demande un bagage mathématique un peu plus solide.

A. Dahan-Dalmedico et J. Peiﬀer, Une histoire des mathématiques, routes et dédales, Points Sciences, Éditions du Seuil.

J. Dieudonné, Abrégé d’histoire des mathématiques, Hermann.

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(18)

VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE

La nécessité de déﬁnir précisément les objets avec lesquels ils travaillent s’est imposée graduellement aux mathématiciens confrontés à des contradictions d’ordre presque mé- taphysique. L’avènement de la théorie des ensembles (à partir des travaux fondateurs de G. Cantor dont le début date des années 1870) et l’axiomatisation croissante des mathé- matiques ont d’une part fait disparaître un certain nombre d’obstacles psychologiques à la création d’objets nouveaux

⁽²⁾

, et d’autre part débouché sur la création d’un vocabulaire extrêmement précis, qui a rendu possible l’explosion des mathématiques au cours du XX

^e

siècle.

Ce mouvement a ﬁni par atteindre l’enseignement avec l’introduction des « maths mo- dernes » au collège (et même en grande section de maternelle). Dans les années 70, le programme enseigné dans le secondaire et dans les classes préparatoires reposait sur le slogan : « Dieu créa l’ensemble vide et l’homme ﬁt le reste ». C’était un peu radical, mais avait le mérite de présenter les mathématiques de manière cohérente et de montrer que l’on pouvait créer de nouveaux objets à partir d’objets déjà existants. La présentation en était malheureusement extrêmement dogmatique, et l’impression qu’on en retirait était plutôt que Dieu avait créé l’ensemble vide et la théorie des ensembles, et sur sa lancée, les entiers, les entiers relatifs, les nombres rationnels, puis les groupes, les anneaux, les corps et les espaces vectoriels, puis les nombres réels, ensuite il avait introduit des ε et des δ,

(2)Les nombres complexes ont mis près de deux siècles à être acceptés (et même les nombres négatifs ont eu leurs détracteurs ; un cas extrème est Augustus de Morgan qui continuait à les considérer, au milieu du XIXê-siècle, comme dénués de tout fondement, et a passé une bonne partie de sa vie à essayer de prouver qu’on pouvait fort bien s’en passer), alors que, de nos jours, des objets nettement plus compliqués le sont dès qu’ils ont fait la preuve de leur utilité pour résoudre, ou même formuler proprement, certains problèmes ; c’est par exemple le cas de l’anneau des « nombres complexesp-adiques » construit par J.- M. Fontaine (1982). Les obstacles psychologiques n’ont toutefois pas complètement disparu ; l’apparition d’un objet nouveau ne se fait pas sans heurt, et provoque des conflits parfois brutaux entre les anciens, dont le point de vue « On a fait de très bonnes maths pendant 2000 ans sans avoir besoin de ces horreurs » reflète l’appréhension devant la perspective de devoir étudier un nouveau sujet “incompréhensible”, et les modernes qui voient dans le nouvel objet la solution à tous les problèmes...

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(19)

aux hommes d’une théorie immuable et parfaite, à la beauté froide et lisse.

Le dogme a changé vers le milieu des années 90, et on est reparti sur le mode : « Dieu a créé les nombres réels, puis les nombres complexes, et envoyé Gauss sur terre pour expliquer qu’il n’y avait pas besoin de chercher plus loin. ». Tout procédé de construction a été soigneusement banni du programme oﬃciel, et une grande partie du vocabulaire mathématique de base a disparu ou a été vidé de sa substance

⁽³⁾

. C’est fort regrettable car la maîtrise du vocabulaire mathématique demande du temps : il décrit des concepts qui reposent souvent sur d’autres concepts, et il faut voir fonctionner ces concepts pour saisir véritablement le sens des mots. Or ce temps fait cruellement défaut une fois passée la période des classes préparatoires.

Ce chapitre essaie de pallier à ces disparitions ; la plus grande partie de son contenu n’est pas utilisée dans le texte principal

⁽⁴⁾

, mais est incluse car elle est susceptible de faire son apparition dans n’importe quel domaine utilisant des mathématiques. Il ne prend pas les mathématiques à leur début

⁽⁵⁾

, et le lecteur est supposé avoir déjà des notions même vagues de la plupart des sujets qui suivent. Plutôt qu’un cours organisé, il s’agit d’une espèce de dictionnaire, et comme dans un dictionnaire, il n’est pas rare que certains passages fassent appel à des notions déﬁnies ultérieurement.

1. Grammaire élémentaire

Si X est un ensemble, on note

|X|

son cardinal.

L’expression A

∼

= B signiﬁe qu’il existe un isomorphisme entre A et B (la notion dépend donc de la structure mise sur A et B), ce qui est nettement moins précis (et donc plus

(3)Le programme de la filière PC est à cet égard assez catastrophique, puisque sa dernière mouture a vu l’introduction de faux concepts, et même de définitions fausses. Il est un peu difficile de comprendre l’idéologie qui a abouti à ce résultat ; peut-être peut-on mettre cela sur le compte de l’effet d’horizon (qui conduisait les premiers programmes jouant aux échecs à faire des sacrifices incompréhensibles visant à repousser hors de leur champ de vision un mat improbable) et de l’utilitarisme à court terme faisant des ravages dans les mentalités de l’époque.

(4)Les résultats exposés dans le cours sont en grande partie antérieurs à la mise en valeur des concepts présentés dans ce chapitre, ce qui fait que l’on peut les présenter, en se contorsionnant un peu, sans recourir à ces concepts. D’un autre côté, lire « Les misérables » ou les « Disquisitiones arithmeticae » à la lumière d’une lampe électrique est nettement plus confortable qu’à la lueur d’une chandelle, même si ces œuvres datent d’avant l’invention de l’ampoule électrique et si la chandelle a un charme certain...

(5)Il a été écrit de la manière suivante. J’ai d’abord, pour chaque concept de base, fait une liste des énoncés que j’utilise régulièrement sans me poser de question. C’est plus ou moins ce qui se trouve en gros caractères. J’ai ensuite rajouté les démonstrations (en général en petits caractères). Une exception à ce principe est le traitement de l’algèbre linéaire, où j’ai remplacé les démonstrations vues en classes préparatoires par d’autres, donnant des résultats plus puissants. J’ai aussi rajouté, pour les amateurs, une collection de monstres mathématiques, et quelques résultats plus culturels comme la construction des nombresp-adiques, les théorèmes de Sylow ou la simplicité deAn.

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(20)

phisme explicite est requis. Par exemple, dire que deux espaces vectoriels de dimension ﬁnie sur un corps K sont isomorphes revient juste à dire qu’ils ont la même dimension.

1.1. L’anneau Z des entiers relatifs

•

Si A est un sous groupe de

Z

(muni de +), il existe D 0 unique, tel que A = DZ.

SiA ={0}, alorsD = 0. SiA= 0, alorsAcontient des éléments>0puisqueAest stable parx→ −x; soitDle plus petit de ces éléments. Une récurrence immédiate montre queA contientnD, pour toutn∈N, et donc aussi pour toutn∈ZpuisqueAest stable parx→ −x.

Autrement dit,A⊃DZ.

Maintenant, soita∈A, et soitr∈ {0, . . . ,D−1}le reste de la division euclidienne dea parD. Alorsa−r∈DZ⊂A, et doncr=a−(a−r)∈A. CommeDest par hypothèse le plus petit élément strictement positif deA, cela impliquer= 0, et donca∈DZ. On en déduit l’inclusionA⊂DZet l’égalitéA = DZque l’on cherchait à démontrer.

On écrit a

|

b (pour a divise b) pour signiﬁer que b est un multiple de a, et a b pour signiﬁer le contraire. Si a, b

∈Z, on déﬁnit le

plus grand diviseur commun pgcd(a, b) de a et b comme étant 0 si a = b = 0, et comme étant le plus grand entier d > 0 divisant à la fois a et b, si a

= 0

ou b

= 0. On dit que

a et b sont premiers entre eux, si pgcd(a, b) = 1.

Un élément p de

N

est premier, si p

= 1

et si les seuls diviseurs de p sont 1 et p. On note

P

=

{2,

3, 5, . . .} l’ensemble des nombres premiers. Il est clair que si p

∈P

, et si a

∈N, alors soit

p

|

Sia=b= 0, le résultat est immédiat. Suposons donca= 0oub= 0. Par déﬁnition de(a, b), aetbsont des multiples de(a, b), et donc(a, b)pgcd(a, b). Réciproquement, sid1divise aetb, alorsddiviseax+by, quels que soientx, y∈Z; en particulier,ddivise(a, b)et donc d(a, b). On en déduit l’inégalité(a, b)pgcd(a, b)qui permet de conclure.

•

Si a est premier avec b et c, alors a est premier avec bc ; si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c (lemme de Gauss).

Si(a, b) = (a, c) = 1, il existeu1, v1tels queau1+bv1= 1etu2, v2tels queau2+cv2= 1.

On a donc1 = (au1+bv1)(au2+cv2) =au+bcv, avecu=au1u2+bv1u2+cu1v2etv=v1v2, ce qui prouve que(a, bc) = 1. On en déduit le premier énoncé.

Sibc=adetau+bv= 1, alorsacu+adv=c, et donca(cu+dv) =c, ce qui prouve quea divisec; d’où le second énoncé.

(6)Il est en fait dû à C.-G. Bachet de Méziriac (1624) ; Bézout (1730-1783) a démontré l’énoncé analogue dans l’anneauK[T].

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(21)

de plus, les p

i

, pour 1 i r, sont uniquement déterminés à l’ordre près. En d’autres termes, n peut se factoriser de manière unique comme produit de facteurs premiers

⁽⁷⁾

(théorème fondamental de l’arithmétique).

Le casn <0se déduit du casn >0; on peut donc supposern >0.

L’existence se démontre par récurrence. C’est évident pourn= 1, auquel cas, on ar= 0 (un produit vide vaut1 par déﬁnition). Maintenant, sin 2est premier, alorsn =n est une factorisation den sous la forme voulue. Sin2n’est pas premier, alorsn =ab, avec 2an−1et2 b n−1. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence àaet b, ce qui permet d’écrireasous la formea=p1· · ·ps, etbsous la formeb=ps+1· · ·pr, où p1, . . . , prsont des nombres premiers. On a alorsn=p1· · ·pr, ce qui prouve quenadmet une factorisation sous la forme voulue.

L’unicité se démontre en utilisant le lemme de Gauss. Sip1· · ·pr=q1· · ·qsoù lespiet les qj sont des nombres premiers, le lemme de Gauss montre quepr divise l’un desqj et donc lui est égal. Quitte à permuter lesqj, on peut supposer quepr=qs, et en divisant les deux membres parpr=qs, on se ramène àr−1ets−1, ce qui permet de conclure par récurrence.

•

Il y a une inﬁnité de nombres premiers.

Supposons le contraire, et soientp1, . . . , prles nombres premiers. Soitn= (p1· · ·pr) + 1, et soitpun nombre premier divisantn(il en existe grâce au point précédent). Commepne peut pas être un despipuisque le reste de la division parpiest1, on aboutit à une contradiction qui permet de conclure.

•

Si n

∈Z− {0}

, et si p est un nombre premier, on note v

p

(n) le nombre de fois que p apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de n ; alors p

^v^p⁽ⁿ⁾

est aussi la plus grande puissance de p divisant n, et v

p

(n) est la valuation p-adique de n.

On étend cette déﬁnition à n

∈ Z

en posant v

p

(0) = +∞. On dispose alors d’un critère de divisibilité assez utile : a divise b si et seulement si v

p

(a) v

p

(b) pour tout nombre premier p. En revenant à la déﬁnition de pgcd(a, b), on en déduit la formule pgcd(a, b) =

p

^inf(v^p^(a),v^p^(b))

.

Exercice 1.1. — Sia, b∈Z, on déﬁnit le plus petit commun multipleppcm(a, b)deaetbcomme le plus petit entier0, multiple à la fois deaetb.

(i) Montrer queaZ∩bZest un sous-groupe deZ, et queaZ∩bZ= ppcm(a, b)Z.

(ii) Montrer queppcm(a, b) =

pp^sup(v^p^(a),v^p^(b)), sia= 0etb= 0.

Exercice 1.2. — (i) Montrer quevp(ab) =vp(a)+vp(b)etvp(a+b)inf(vp(a), vp(b)), pour tousa, b∈Z.

(ii) Montrer quevpa un unique prolongement àQtel quevp(xy) =vp(x) +vp(y), pour tousx, y∈Q, et que l’on a alorsvp(x+y)inf(vp(x), vp(y)), quels que soientx, y∈Q.

(iii) Montrer que√

2est irrationnel.

(7)Sinest le produit de deux nombres premiers ayant chacun un millier de chiﬀres, on peut prouver, avec l’aide d’un ordinateur, quenn’est pas premier, mais il est impossible, à l’heure actuelle, de retrouver les deux nombres premiers qui divisentn. Ceci est à la base de la sécurité du système RSA, datant de 1977, en vigueur pour les transactions sur Internet. C’est aussi une bonne illustration de la diﬀérence entre la théorie et la pratique, qui en théorie sont la même chose, mais en pratique...

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(22)

En déduire quevp(n!) =^n−S_p−1^p⁽ⁿ⁾, oùSp(n)est la somme des chiﬀres denen basep.

(ii) Montrer que[x]−_x

2

−_x

3

−_x

5

+_x

30

est toujours0. En déduire que (15n)! (10n)! (6n)!^(30n)!n! est un entier⁽⁸⁾, pour toutn∈N.

1.2. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste

•

La négation p

→

p correspond au passage au complémentaire :

{x, p(x)}

est le complé- mentaire de

{x, p(x)}.

• ∧

(“et”) correspond à l’intersection :

{x, p(x)∧

q(x)} =

{x, p(x)} ∩ {x, q(x)}

.

• ∨

(“ou”) correspond à la réunion :

{x, p(x)∨

q(x)} =

{x, p(x)} ∪ {x, q(x)}

.

•

La formule p

∨

q = p

∧

q (resp. p

∧

q = p

∨

q) devient : le complémentaire de la réunion (resp. l’intersection) est l’intersection (resp. la réunion) des complémentaires.

• ⇒

correspond à l’inclusion : p

⇒

q si et seulement si

{x, p(x)} ⊂ {x, q(x)}.

• ∀

correspond à une intersection :

{x, ∀i∈

I, p

i

(x)} =

∩i∈I{x, pi

(x)} .

• ∃

correspond à une réunion :

{x, ∃i∈

I, p

i

(x)} =

∪i∈I{x, pi

(x)}.

Considérons, par exemple, deux espaces métriques Xet Y, et une suite de fonctions (fn)_n∈Nde X dansY. SoitAl’ensemble desx∈Xtels quefn(x)converge. AlorsApeut s’écrire sous la forme :

A ={x∈X, ∃y∈Y, ∀j∈N, ∃N∈N, ∀nN, d(fn(x), y)<2^−j}

=∪y∈Y∩j∈N∪N∈N∩nNf_n⁻¹({y∈Y, d(y, y)<2^−j}).

SiYest complet, on peut utiliser le critère de Cauchy au lieu de donner un nom à la limite, et on obtient [en notantfn,p: X→Y×Yla fonctionx→(fn(x), fp(x))] :

A ={x∈X, ∀j∈N, ∃N∈N,∀n, pN, d(fn(x), fp(x))<2^−j}

=∩j∈N∪N∈N∩n,pNf_n,p⁻¹

{(y, y)∈Y×Y, d(y, y)<2^−j} .

La seconde formulation a l’avantage de ne faire intervenir que des intersections et réunions indexées par des ensembles dénombrables.

1.3. Ensembles dénombrables

Un ensemble est dénombrable s’il est ﬁni ou s’il peut être mis en bijection avec

N

.

•

Un sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est dénombrable.

Il suﬃt de démontrer qu’un sous-ensemble X de N, qui n’est pas ﬁni, peut être mis en bijection avecN. Six∈X, soitϕ(x) =|{y∈X, y < x}|. Six0est le plus petit élément deX, on aϕ(x0) = 0, ce qui montre queϕ(X)contient0. Siϕ(x) =n, etxest le plus petit élément deXstrictement supérieur àx, on a ϕ(x) =n+ 1, ce qui prouve queϕest surjective. Par

(8)Cette observation, couplée avec la formule de Stirling, a permis à P. Tchebychev de montrer, en 1852, que le nombreπ(x)de nombres premiersxvériﬁe(0,92 +o(1))_logx^x π(x)(1,05 +o(1))_logx^x , enca- drement que l’on pourra comparer avec le th. des nombres premiers de l’annexe A. En 2005, F. Rodriguez- Villegas a démontré que la série_+∞

n=0

(30n)!n!

(15n)! (10n)! (6n)!Tⁿétait algébrique, ce qui signiﬁe qu’il existe un polynômePà coeﬃcients dansQ(T)qui l’annule ; il a aussi prouvé que le degré minimal d’un tel polynôme est483840, ce qui rend son explicitation problématique...

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ÉCO LE P OLY TEC HNI QUE

(23)

{y∈X, y < x1}etx1). Ceci permet de conclure.

•

Si ϕ : X

→

Y est injective et si Y est dénombrable, alors X est dénombrable ; si ϕ : X

→

Y est surjective et si X est dénombrable, alors Y est dénombrable.

Siϕ: X→Yest injective, alorsϕréalise une bijection deXsurϕ(X)qui est dénombrable comme sous-ensemble d’un ensemble dénombrable, et doncXest dénombrable. Siϕ: X→Y est surjective, on peut choisir, pour touty ∈Y, un antécédents(y)∈ Yde y parϕ. Alors s: Y→Xest injective cars(y1) =s(y2)impliquey1=ϕ(s(y1)) =ϕ(s(y2)) =y2, et doncY est dénombrable siXl’est, d’après ce qui précède.

•

Un produit ﬁni d’ensembles dénombrables est dénombrable.

SoientX1, . . . ,Xkdes ensembles dénombrables,X = X1×· · ·×Xk, etp1, . . . , pkdes nombres premiers distincts. Soitϕi: Xi→ Ninjective, pour touti∈ {1, . . . , k}. Alorsϕ: X→N, déﬁnie parϕ(x1, . . . , xk) =p^ϕ₁¹^(x¹⁾· · ·p^ϕ_k^k^(x^k⁾est injective d’après le « théorème fondamental de l’arithmétique » (unicité de la factorisation d’un entier naturel non nul en produit de nombres premiers).

•

Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.

Soit(Xi)i∈I, avecIdénombrable et chacun des Xiaussi. Soientϕi: Xi→N, pouri∈I, des applications injectives, et soitY⊂I×Nl’ensemble des couples(i, ϕi(x)), pouri∈Iet x∈Xi. AlorsYest dénombrable comme sous-ensemble de l’ensemble dénombrableI×N, et l’application(i, y)→ϕ⁻¹_i (y)de Y dans∪i∈IXiest surjective, ce qui prouve que ∪i∈IXiest dénombrable.

• Z

,

N^d

,

Z^d

, si d

∈N

, et

Q

sont dénombrables

⁽⁹⁾

.

L’application(a, b)→a−best une surjection deN×NsurZ, et commeN×Nest dé- nombrable, en tant que produit fini d’ensembles dénombrables, il en est de même deZ. Les ensemblesN^d, Z^d sont dénombrables puisque ce sont des produits finis d’ensembles dénom- brables. Enfin,(a, b)→ â_b induit une surjection deZ×(Z− {0})surQqui, de ce fait est dénombrable,ZetZ− {0}l’étant.

• R

et l’ensemble

{0,

1}

^N

des suites à valeurs dans

{0,

1} ne sont pas dénombrables.

Supposons que{0,1}^N est dénombrable. Il existe donc une bijectionn → xn de Nsur {0,1}^N. Chaquexnest une suitexn= (xn,k)k∈N, oùxn,k∈ {0,1}, ce qui permet de considérer la suite y = (yk)_k∈N, où yk = 1−xk,k. Par construction, la suite y a sa n-ième valeur distincte de celle dexn, pour tout n, et on a doncy=xn, quel que soitn∈N, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse selon laquellen→xnest surjective ; c’est donc que{0,1}^N n’est pas dénombrable. Cet argument estl’argument diagonalde Cantor (1891).

Pour démontrer queR n’est pas dénombrable, il suﬃt de constater que siX désigne le sous-ensemble de[0,1[des nombres dont le développement décimal ne comportent que des0et

(9)Ces résultats, la non dénombrabilité deRet la dénombrabilité de l’ensemble des nombres algébriques sont le fruit d’un échange de lettres entre G. Cantor et R. Dedekind datant de la ﬁn 1873. Cantor prouvera en 1877 que[0,1]et[0,1]×[0,1]peuvent être mis en bijection ; comme il l’écrit à Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas ».

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de même deR, qui contientX.

Exercice 1.4. — Montrer que l’ensembleP(N)des parties deNn’est pas dénombrable, mais que l’ensemble des parties ﬁnies deNest dénombrable.

Exercice 1.5. — On rappelle quex∈Cestalgébriques’il existeP∈Q[X]non nul tel queP(x) = 0, et quex∈Cesttranscendants’il n’est pas algébrique. Montrer que l’ensembleQdes nombres algébriques est dénombrable. En déduire qu’il existe des nombres transcendants.

Exercice 1.6. — Soit(Bj)_j∈Iune famille de disques ouverts non vides deC. Montrer que si lesBj sont deux à deux disjoints, alorsIest dénombrable.

Exercice 1.7. — Soitf:R→Rune fonction croissante.

(i) Montrer quef admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point et que, six0∈R, alorsf(x⁺₀) = infx>x0f(x)etf(x⁻₀) = sup_x<x₀f(x); en déduire quef(x⁻₀)f(x0)f(x⁺₀). A quelle conditionf est-elle continue enx0?

(ii) Montrer que, six0< x1, alorsf(x⁺₀)f(x⁻₁).

(iii) Montrer que l’ensembleDdes points oùf est discontinue est dénombrable.

Exercice 1.8. — SoientXun sous-ensemble dénombrable deR, dense (i.e.]a, b[∩X=∅, pour tousa < b), etn→xnune bijection deNsurX. On déﬁnit, par récurrence, une suiten→ϕ(n), en posantϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1et en prenant pourϕ(n)le plus petit entieriϕ(n−1)tel quexisoit entrex_ϕ(n−1)etx_ϕ(n−2). Montrer que la suite(xϕ(n))n∈Na une limite et que cette limite n’appartient pas àX. En déduire queR n’est pas dénombrable.

Exercice 1.9. — (diﬃcile) Un « huit » est la réunion de deux cercles dans le plan, de même rayon (non nul), tangents en un point. Montrer que l’on peut mettre dans le plan au plus un nombre dénombrable de huit deux à deux disjoints.

Exercice 1.10. — (diﬃcile) Un « tripode » est la ﬁgure formée de trois segments[G,A],[G,B]et[G,C], oùA,B,Csont les sommets d’un triangle équilatéral (non réduit à un point) etGest le centre de gravité du triangle. Montrer que l’on peut mettre dans le plan au plus un nombre dénombrable de tripodes deux à deux disjoints.

2. Produits, sommes et quotients 2.1. Produits et sommes

_i∈I

sur x

i