Algèbre linéaire en dimension finie.

MPSI A 2004-2005

Feuille d’exercices

Algèbre linéaire en dimension finie.

Exercice 1: On regarde C comme R-espace vectoriel. Soit f : C→C une ap- plication R-linéaire. Montrer qu’il existe des nombres complexes a et b tels que

f(z) =az+bz. À quelle condition est-elle C-linéaire ?

Exercice 2: Soient A,B,C trois sous-espace vectoriel de E. Comparer A∩B+A∩C et A∩(B+C).

Exercice 3: Soit f ∈

L

(E). Montrer les équivalences :

f²=0⇐⇒Im f ⊂Ker f

Ker f²=Ker f ⇐⇒Im f∩Ker f ={0}.

Exercice 4: On appelle matrice magique d’ordre n toute matrice A∈

M

n(K)telle que la somme des éléments de chaque colonne, de chaque ligne et des deux diago- nales soient égales à un même nombre, qu’on appelle la somme de la matrice. Soit

E

l’ensemble des matrices magiques.

1. Montrer que

E

est un sous-espace vectoriel de

M

_n(K).

2. Soit

N

l’ensemble des matrices magiques de somme nulle et

C

l’ensemble des matrices constantes, i.e. dont tous les coefficients sont égaux. Montrer que

N

et

C

sont supplémentaires.

3. Dans

N

, on considère les sous-ensembles

S

et

A

constitués respectivement des matrices symétriques (a_j,k=a_k,j) et antisymétriques (a_j,k=−a_k,j). Mon- trer que

S

et

A

sont supplémentaires dans

N

.

4. Si n=3, déterminer toutes les matrices magiques.

Exercice 5: Soit f un endomorphisme du K-espace vectoriel E. Pour tout P=

∑ka_kX^k∈K[X], on considèreP(e f) =∑ka_kf^k. Soient P,Q∈K[X].

1. Montrer que si P divise Q, KerP(e f)⊂KerQ(e f)et ImQ(e f)⊂ImP(e f) 2. Soit D le PGCD de P et Q. Montrer que

KerD(e f) =KerP(e f)∩KerQ(e f) ImD(e f) =ImP(e f) +ImQ(e f).

1

Exercice 6: Soit E un K-espace vectoriel, où K est un corps de caractéristique nulle (par exemple Q,R ou C, voire R(X)). Soit p∈

L

(E)un projecteur.

1. Montrer que u∈

L

(E)commute avec p si et seulement si Ker p et Im p sont stables par u.

2. Soit q∈

L

(E)un projecteur. Montrer que si p◦q+q◦p=0, alors p◦q=q◦p.

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour avoir p+q projecteur.

Déterminer dans ce cas Ker(p+q)et Im(p+q).

4. On suppose p◦q=q◦p. Montrer que p◦q est un projecteur, et préciser son image et son noyau.

Exercice 7: Soit I un intervalle contenant au moins deux points et E=

C

(I,R).

1. Soit ∈N et λ1 <· · ·<λn des nombres réels. Montrer que la famille (t 7→

e^λit)1≤i≤nest libre dans E. (On pourra dériver.) 2. Montrer que la famille(sin kt)_1≤k≤nest libre.

3. Montrer que la famille(cos^kt)_1≤k≤nest libre.

Exercice 8:

1. Soit(P_j)_june famille de polynômes de K[X]tels que pour tous i6= j, deg P_i6=

deg P_j. Montrer que(P_j)est libre. Réciproque ?

2. Soit (Q_j)_j une famille de polynômes de K[X] tels que pour tout n∈N, il existe Qide degré n. Montrer que(Qj)est génératrice. Réciproque ?

Exercice 9: Soit n∈N et (e_i)1≤i≤n la base canonique de Kⁿ. Pour 1≤l≤n, on pose e⁰_l=∑1≤i≤lei. Montrer que la famille(e⁰_i)iest une base

– par récurrence ;

– en utilisant un isomorphisme avec Kn−1[X].

Exercice 10: Soit E un espace vectoriel. Soit u un endomorphisme nilpotent de E, i.e. un endomorphisme pour lequel il existe un entier n≥1 tel que uⁿ⁻¹6=0 et uⁿ=0. Cet entier n (unique) s’appelle l’ordre de nilpotence.

1. Soit x∈E tel que uⁿ⁻¹(x)6=0. Montrer que la famille(x,u(x), . . . ,uⁿ⁻¹(x)) est libre.

2. Donner un exemple d’endomorphisme nilpotent d’ordre k≤n dans Kn−1[X].

(Commencer par k=n et k=1.)

Exercice 11: On considère n∈N, E=Cn[X]et pour tous 0≤k≤n, P_k=X^k(1− X)^n−k. Montrer que(P₀, . . . ,P_n)est une base de E.

Exercice 12:

1. Soit E=Kⁿ. Donner un supplémentaire du sous-espace vectoriel F={(x₁, . . . ,x_n)∈E |x₁+· · ·x_n=0}.

2

2. Soit E_R =

C

([0,1],R) et Φ : E → R l’application linéaire qui à f associe

1

0 f(t)dt. Donner un supplémentaire du noyau de Φ dans E. (Tuyau : il y en a beaucoup et ils sont tout petits.)

Exercice 13: [Polynômes interpolateurs de Lagrange]

On considère n∈N, E=C_n[X]et a₀, . . . ,a_ndes nombres complexes distincts.

Pour tout i tel que 0≤i≤n, on définit le polynôme interpolateur de Lagrange par P_i=

∏

0≤k≤n,k6=i

X−a_k ai−a_k. 1. Déterminer que P_i(a_k).

2. Montrer que(P_i)0≤i≤nest une base de E.

3. Préciser les coordonnées du vecteur P=∑0≤k≤nc_kX^k dans cette base.

Exercice 14: [Lemme de l’échange]

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soit (e_i) et (f_j) deux bases.

Montrer que l’on peut échanger e₁par un vecteur f_j0de(f_j)tel que(f_j0)∪(e_i)_2≤i≤n soit encore une base de E.

Exercice 15: Soit E, F, G trois espaces vectoriels de dimensions finies.

1. Soient u∈

L

(E,F)et v∈

L

(F,G). Montrer les inégalités dim Ker v◦u≤dim Ker u+dim Ker v rg u+rg v−dim F≤rg(v◦u)≤min(rg u,rg v).

2. Soient u et v dans

L

(E,F). Montrer l’inégalité

|rg u−rg v| ≤rg(u+v)≤rg u+rg v.

Exercice 16: Soitαun nombre complexe non-nul et E =Q[X]. On note Q(α)le plus petit sous-corps de C qui contientα.

1. Montrer que R est un espace vectoriel de dimension infinie sur Q.

2. SoitΦ: E→C l’application qui à P associe P(α). Montrer queΦest linéaire et déterminer son noyau.

3. On suppose qu α est algébrique, i.e. il existe P∈E\ {0}tel que P(α) =0.

Montrer que Q(α)est un espace vectoriel de dimension finie sur Q. Montrer que Q(α) =ImΦ.

4. On suppose α transcendant. Montrer que Q(α) est de dimension infinie sur Q.

5. Pour aller plus loin : Montrer que siα est transcendant, Q(α)est isomorphe à Q(X)(en tant que quoi ?).

3

Exercice 17: Soit E un espace vectoriel de dimension n et u∈

L

(E).

1. On suppose que u²=0. Montrer que rg u≤ ⁿ₂.

2. Soit v∈

L

(E). On suppose que ker u+ker v=Im u+Im v=E. Montrer que les deux sommes sont directes.

3. Montrer que si ker u =Im u, alors n est pair. Réciproquement, si n est pair, construire une application linéaire u telle que ker u=Im u.

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