107 – Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel.

107 – Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C -espace vectoriel.

Question.

Montrer que siGest fini,ρ(g) est diagonalisable pour toutg ∈G, où ρ:G→ GL(V).

Réponse.

ρ(g)^|G|= 1 par Lagrange etX^|G|−1 est scindé à racines simple surC.

Question.

Soitρ:G→GL(V) une représentation de caractèreχ, on noteK_χ :={g∈G| χ(g) =χ(1)}. Montrer queK_χ= kerρ, en particulierK_χ est distingué dansG.

Réponse.

Sig∈kerρ, on a bienχ(g) =χ(1).

ρ(g) est diagonalisable de spectre inclus dans U|G| par la question précédente, donc

<(χ(g)) = X

λ∈Sp(ρ(g))

<(λ)≤d=χ(1)

oùddésigne le degré deρ.

Donc siχ(g) =χ(1), alors pour tout λ∈Sp(ρ(g)), λ= 1, et donc ρ(g) = id, c’est-à-direg∈kerρ.

Question.

Soitχ₁, . . . , χ_n les caractères irréductibles de G, montrer que les sous-groupes distingués deGsont exactement du typeT

i∈IK_χi avecI⊂ {1, . . . , n}.

Réponse.

PourN / G, on considèreρ:G→GL(V) la représentation régulière deG/N et on décomposeV en somme de représentations irréductibles :V =L

Vi. AlorsN = kerρ=T

kerρi=T Kχi.

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Question.

Montrer que siV est de dimension finie, alors _|G|¹ P

g∈Gχ(g)∈N.

Réponse.

On peut par exemple définir

p:= 1

|G|

X

g∈G

ρ(g)

et remarquer queρ(g)◦p=ppour toutg, et doncpest un projecteur. Sa trace est alors la dimension de son image.

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