MPSI A 2004-2005
Feuille d’exercices
Algèbre linéaire en dimension finie II
Exercice 1: Montrer que toute application linéaire de K2dans lui-même est de la forme(x,y)7→(ax+by,cx+dy)où a,b,c,d∈K2.
Exercice 2: Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies. Déterminer la dimension de
L
(E,F).Exercice 3: [suites linéaires récurrentes]
1. Pour chacune des relations récurrentes suivantes, exprimer un en fonction de u0,u1et n (dans le corps des coefficients) :
un+2=un+1−1
4un un+2=4un+1−8un un+2=2iun+1+un. 2. Discuter dans chaque cas l’existence de solutions bornées.
3. Discuter en fonction du paramètreα∈R la dimension de l’espace vectoriel des suites bornées vérifiant
un+2=un+1+αun.
Exercice 4: Soit E un K-espace vectoriel. Soit u∈
L
(E). On suppose que pour tout x∈E, x et u(x)sont colinéaires. Montrer que u est une homothétie. En déduire qu’un endomorphisme qui commute à tous les endomorphismes de E est une homothétie.Exercice 5: Soit E un espace vectoriel de dimension n∈N et u∈
L
(E).1. On suppose u2=0. Montrer que rg u≤n2.
2. Soit v∈
L
(E). On suppose que Ker u+Ker v=Im u+Im v=E. Montrer que les deux sommes sont directes.3. Montrer que si Ker u=Im u, alors n est pair. Réciproquement, si n est pair, montrer qu’il existe un endomorphisme u tel que Ker u=Im u.
Exercice 6: Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et F un sous-espace vectoriel de dimension p. Montrer qu’il existe n−p formes linéaires(ϕi)itelles que
F= \
1≤i≤n−p
Kerϕi.
Montrer que lesϕisont linéairement indépendantes.
Exercice 7: Soit u et v deux formes linéaires sur E. On suppose que Ker u⊂Ker v.
Montrer que u=v.
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