[ Suite de points \

algorithmique

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Énoncé

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier natureln, on définit les points (A_n) par leurs coordonnées¡

x_n; y_n¢

de la façon suivante :

½x₀= −3

y₀= 4 et pour tout entier natureln:

½x_n+1=0, 8x_n−0, 6y_n y_n+1=0, 6x_n+0, 8y_n 1. a. Déterminer les coordonnées des pointsA₀, A₁etA₂.

b. Pour construire les pointsA_nainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant : Variables :

i,x,y,t: nombres réels Initialisation :

xprend la valeur−3 yprend la valeur 4 Traitement :

Pouriallant de 0 à 20

Construire le point de coordonnées (x; y) tprend la valeurx

xprend la valeur . . . . yprend la valeur . . . . Fin Pour

Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A₀àA₂₀. c. A l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

b

bb b b b bb

b

b

b

b b b b b b

b

b

Suite de points Page 1/3 Août 2015

algorithmique

Identifier les points A₀, A₁etA₂.. On les nommera sur la figure jointe enannexe 2, (à rendre avec la copie).

Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les pointsA_npour toutnen- tier naturel ?

2. ...

Amérique du Nord juin 2015

Suite de points Page 2/3 Août 2015

algorithmique

Correction

1. a. On applique les formules de récurrence proposées en utilisant un petit programme fait à la calculatrice.

On obtient :

A0

µ−4, 8 1, 4

¶

A1

µ−4, 68

−1, 76

¶

A2

µ−2, 688

−4, 216

¶

Ceux qui font l’option mathématiques auront reconnu qu’on peut définir matriciellement la suite des coordon- nées. C’est d’ailleurs comme cela que l’on peut rapidement cal-

culer les termes de la suite à la calculatrice.

b. Voir plus bas :

Variables :

i,x,y,t: nombres réels Initialisation :

xprend la valeur−3 yprend la valeur 4 Traitement :

Pouriallant de 0 à 20

Construire le point de coordonnées (x; y) tprend la valeurx

xprend la valeur 0, 8×x−0, 6×y. yprend la valeur 0, 6×t+0, 8×y.

Fin Pour

L’erreur à ne pas commettre ici était d’utiliserx dans le calcul dey. En effet, à ce stade,xa déjà été modifié. C’est d’ailleurs pour cela que l’algorithme propose de stocker tempo-

rairement l’ancienne valeur dexdans la variablet.

c. On a identifié les points sur l’annexe en fonction de leurs coordonnées. Ils semblent appartenir à un cercle de centreOet de rayon 5.

2. ...

Suite de points Page 3/3 Août 2015