Professeur K. Hess Bellwald
Sections de math´ematiques et de physique TRAVAIL ECRIT D’ALG`EBRE LIN´EAIRE
du 14 novembre 2008 9h15 `a 11h
NOM : PR ´ENOM : SECTION :
Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
EXERCICE VALEUR POINTS
1 /18
2 /25
3 /30
4 /27
TOTAL /100
NOTE /6
Bon travail et bonne chance !
1. SoientV etW deux F-espaces vectoriels.
(a) D´efinir une structure deF-espace vectoriel surV ×W, provenant de celles de V et de W. (Vous n’ˆetes pas oblig´e de v´erifier tous les axiomes, mais de dire et justifier quel est le z´ero et comment former les inverses additifs.)
[8]
(b) Montrer que siV etW sont de dimension finie, alorsV ×W l’est
´egalement et dim(V ×W) = dimV + dimW. [10]
2. SoientX ={x1, x2, x3} etY ={y1, y2}. Soit V =F(X×Y,F)
(a) Trouver une base deV et calculer dimV. Justifier votre r´eponse.
[10]
(b) Soit U = {f ∈ V | f(x1, y2) = f(x2, y2) = f(x3, y2)}. Montrer queU est un sous-espace vectoriel deV.
[5]
(c) Trouver un sous-espace W de V tel que U ⊕W = V. Justifier votre r´eponse.
[10]
3. Indiquer la bonne r´eponse par une croix, et ensuite justifier votre r´eponse.
(a) Soientq1(x), q2(x), ..., q7(x)∈Pn(F)r{0}. Si span q1(x), ..., q7(x)
= span q1(x)
⊕ · · · ⊕span q7(x) ,
est-il possible quen= 5 ?
Oui Non
[2]
Justification : [8]
(b) Soient V et W des F-espaces vectoriels. Soient S et T des ap- plications lin´eaires de V vers W, et soient α, β ∈ F. Est-ce que l’application
α·S+β·T :V →W
est lin´eaire ? (Ici, la somme de deux applications et la multiplica- tion d’une application par un scalaire sont d´efinies comme d’ha- bitude.)
Oui Non
[2]
Justification : [8]
(c) Soit V unF-espace vectoriel de dimension finie. Pour tout n∈N, soitUn un sous-espace vectoriel deV. Supposer que
Un1+· · ·+Unk =Un1 ⊕ · · · ⊕Unk
quelques soient 1≤n1 < n2 <· · ·< nk et quelque soit k. Est-il possible que Um 6= Un chaque fois que m 6= n, i.e., que tous les Un soient distincts ?
Oui Non
[2]
Justification : [8]
4. Ci-dessous la notation Fveut dire soitR, soitC.
(a) Donner la d´efinition compl`ete d’un F-espace vectoriel.
[10]
(b) Montrer queV =F(R,R), muni de deux op´erations add :V ×V →V : (f, g)7→g◦f et
mult :R×V →V : (α, f)7→α·f, o`u (α·f)(x) =α· f(x)
pour toutx∈R, n’est pas unR-espace vectoriel.
[3]
(c) Soit V un F-espace vectoriel. Montrer que si α ∈ F et ~v ∈ V, alors
α·~v =~0 si et seulement siα = 0 ou~v=~0.
Justifier chaque pas de votre argument en faisant appel aux axiomes d’espace vectoriel.
[5]
(d) Montrer que siV est unF-espace vectoriel tel queV 6={~0}, alors V contient un nombre infini de vecteurs distincts.
[4]
(e) Donner un exemple d’un F-espace vectoriel qui n’est pas de di- mension finie. Justifier votre r´eponse.
[5]