Professeur K. Hess Bellwald
Sections de math´ematiques et de physique
EXAMEN PROP´EDEUTIQUE D’ALG`EBRE LIN´EAIRE du 25 juin 2009
8h15 `a 12h00
NOM : PR ´ENOM : SECTION :
Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´electronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
Vous pouvez utiliser les formules du cours pour les dimensions de Pn(F), Mat(m, n;F), F(X,F) et L(V, W) sans justification.
EXERCICE VALEUR POINTS
1 /10
2 /10
3 /25
4 /25
5 /30
TOTAL /100
NOTE /6
Bon travail et bonne chance !
1. SoitV =F(R,R), muni de sa structure usuelle de R-espace vectoriel.
Montrer que les deux ensembles
U ={f ∈V |f(1) = 0} et W ={f ∈V | ∃a∈R t.q.f(x) =ax∀x∈R} sont des sous-espaces vectoriels deV. Montrer ensuite queV =U⊕W. [10]
2. SoitV un F-espace vectoriel de dimension finie.
(a) Montrer ou donner un contre-exemple : si T ∈L(V), alorsV = kerT ⊕ImT.
[4]
(b) Montrer que si T ∈ L(V), alors V = kerTn⊕ImTn, o`u n = dimV.
[6]
3. Soit V un C-espace vectoriel de dimension n >0, muni d’un produit scalaire. SoitT ∈L(V), avec polynˆome minimal
qT(x) =xn+
n−1
X
k=0
akxk.
(a) Donner une formule explicite pourqT∗(x). Justifier votre r´eponse.
[7]
(b) Donner une condition sur{a0, ..., an−1}qui est forc´ement v´erifi´ee siT est auto-adjoint. Est-ce aussi une condition suffisante ? Jus- tifier vos r´eponses.
[6]
(c) Soitλ∈C r{0}. Supposer queV admet une baseB= (~v1, ~v2, ~v3) telle que T(~v1) = λ~v1 et T(~vk) = ~vk−1 +λ~vk pour k = 2,3.
CalculerqT(x), [T−1]B,B etqT−1(x). Justifier vos r´eponses.
[12]
4. Indiquer la bonne r´eponse par une croix, et ensuite justifier votre r´eponse.
(a) Soient U et W des sous-espaces vectoriels de V tels que V = U⊕W. SoientR∈L(U) etS ∈L(W). On d´efinitT ∈L(V) par
T(~u+w) =~ R(~u) +S(w)~
quels que soient ~u ∈ U et w~ ∈ W. Est-il vrai que cT(x) = cR(x)cS(x) ? Oui Non
[1]
Justification : [4]
(b) SoitA∈Mat(n, n;C). Si kerA6={~0}, existe-t-il forc´ementk≤n tel queAk=On,n?
Oui Non
[1]
Justification : [4]
(c) Soient
A1 = 1 0
0 0
, A2= 1 1
0 0
, A3 = 1 1
1 0
, A4 = 1 1
1 1
∈Mat(2,2;R).
Existe-t-il un produit scalaire sur Mat(2,2;R) tel que kAkk=k ∀1≤k≤4
et
Ai ⊥Aj si i6=j?
Oui Non
[1]
Justification : [4]
(d) Soit V =L(C5,C13), et soit T ∈L(V). Si V admet une base B telle que
Tr
[T]B,B
= 137, est-il possible queT soit une isom´etrie ?
Oui Non
[1]
Justification : [4]
(e) Soit A ∈ Mat(n, n;C) telle que A∗A = In, et soit T ∈ L(Cn).
Supposer que pour tout 1≤j≤n, il existe βj ∈Ctel que T ~cj(A)
=βj~cj(A),
o`u ~cj(A) d´esigne la j`eme-colonne de A. Existe-t-il λ, λ0 ∈ C et
~v, ~v0 ∈Cn tels que – λ6=λ0,
– ~v6=~v0,
– T(~v) =λ~v,T(~v0) =λ0~v0, et – < ~v, ~v0>euclid6= 0 ?
Oui Non
[1]
Justification : [4]
5. Soient V et W des F-espaces vectoriels, munis de produits scalaires
<−,−>V et <−,−>W, respectivement. On suppose toujours que V soit de dimension finie. Soit T ∈L(V, W).
(a) Comment d´efinit-on l’adjoint T∗ de T? Expliquer toutes les no- tions du cours dont on a besoin dans cette d´efinition (autres que les notions d’espace vectoriel, d’application lin´eaire, de base et de produit scalaire).
[5]
(b) Soit A =
i 0 2
−3 1 + 2i 0
. Calculer (TA)∗ :C2 → C3, o`u C2 et C3 sont munis du produit scalaire euclidien.
[3]
(c) Donner une caract´erisation deT∗en termes des produits scalaires deV et deW. (Vous n’ˆetes pas oblig´e de d´emontrer l’´equivalence de la d´efinition et de la caract´erisation.)
[2]
(d) D´emontrer les propri´et´es arithm´etiques suivantes de l’adjonction.
i. (S+T)∗=S∗+T∗ ∀S, T ∈L(V, W).
ii. (αT)∗ =αT∗ ∀T ∈L(V, W), α∈C. iii. Id∗V = IdV.
iv. (T∗)∗ =T ∀T ∈L(V, W), si dimW <∞ aussi.
[12]
(e) Montrer que kerT∗ = (ImT)⊥, o`u le compl´ement orthogonal se calcule par rapport au produit scalaire<−,−>W.
[5]
(f) Si T est un isomorphisme, est-ce que T∗ est aussi un isomor- phisme ? Justifier votre r´eponse.
[3]
