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EXERCICE VALEUR POINTS

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Academic year: 2022

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(1)

Professeur K. Hess Bellwald

Sections de math´ematiques et de physique

EXAMEN PROP ´EDEUTIQUE D’ALG `EBRE LIN´EAIRE du 6 juillet 2006

08h15 `a 12h00

NOM : PR ´ENOM : SECTION :

Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.

EXERCICE VALEUR POINTS

1 /13

2 /12

3 /17

4 /25

5 /33

TOTAL /100

NOTE /6

Bon travail et bonne chance !

(2)

1. SoitV unF-espace vectoriel de dimension finie. SoitP ∈L(V) tel que P◦P =P.

(a) Montrer queV ∼= kerP ⊕ImP. [6]

(b) Montrer que TrP est un nombre naturel.

[7]

(3)

2. (a) Supposons queT ∈L(V) et que~v∈V v´erifientTm−1~v=~0 mais Tm =~0 pour un certainm≥1. Montrer que (~v, T ~v, . . . , Tm−1~v) est lin´eairement ind´ependante.

[7]

(4)

2. (b) On consid`ereD∈L(P3(F)),

D(a0+a1t+a2t2+a3t3) =a1+ 2a2t+ 3a3t2. Trouver une baseB de P3(F) telle que

[5]

[D]B =

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

 .

(5)

3. Soit V un F-espace vectoriel muni d’un produit scalaire h,i. D´efinir une application ϕ : L(V) ×L(V) → F par ϕ(S, T) := Tr(S ◦T).

Montrer queϕest un produit scalaire.

[17]

(6)

3. (suite)

(7)

4. Justifier votre r´eponse.

(a) Soit A ∈ Mat(3,7,R), et soit ~b ∈ R3. Consid´erer le syst`eme lin´eaireA~x=~b. Est-il possible que #{~c∈R7 |A~c=~b}= 4 ? [5]

(b) SoitV =P3(R). Existe-t-ilT ∈L(V) et bases B et B0 deV tels que

[5]

[T]B =

1 2 4 6

0 −1 3 4

0 −3 1 2

0 0 0 −1

et [T]B0 =

1 2 4 6

0 −1 3 4

0 0 −1 2

0 0 −4 1

?

(8)

4. (c) Est-ce quex2+x−2 peut ˆetre le polynˆome caract´eristique d’une isom´etrie complexe ?

[5]

(d) Soit V un R-espace vectoriel, et soit T ∈ L(V) un op´erateur normal, sans valeur propre r´eel. Est-ce que 2 divise Tr(T) ? [5]

(e) Est-ce que x4 − 4 peut ˆetre le polynˆome caract´eristique d’un op´erateur auto-adjoint ?

[5]

(9)

5. SoientV etW desF-espaces vectoriels.

(a) Qu’est-ce qu’un isomorphisme deV vers W? [2]

(b) D´emontrer que : [10]

i. si dimV = dimW < ∞, alors il existe un isomorphisme de V vers W;

ii. si dimV = dimW < ∞ et T ∈ L(V, W), alors T est un isomorphisme si et seulement si kerT ={~0}.

(10)

[7] 5. (c) Soient B etB0 des bases de V etW, respectivement. Donner la d´efinition de l’application

L(V, W)→Mat(m, n,F) :T 7→[T]B0,B

o`u n = dimV, m = dimW. Montrer que c’est bien un isomor- phisme.

[1]

(d) Qu’est-ce qu’une matrice inversible ?

(11)

5. (e) Soient V, W, B, B0 comme dans la partie (??). SoitT ∈L(V, W).

Montrer queT est un isomorphisme si et seulement si [T]B0,B est inversible.

[5]

(12)

5. (f) ´Etant donn´e deux bases B et B0 d’un F-espace vectoriel V de dimension finie, prouver qu’il existe un isomorphisme

[8]

ϕB0,B : Mat(n, n,F)→Mat(n, n,F) tel que ϕB0,B [T]B

= [T]B0 pour tout T ∈ L(V) et tel que Tr(ϕB0,B(A)) = Tr(A) et det(ϕB0,B(A)) = detA pour tout A ∈ Mat(n, n,F).

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