Professeur K. Hess Bellwald
Sections de math´ematiques et de physique
EXAMEN PROP ´EDEUTIQUE D’ALG `EBRE LIN´EAIRE du 6 juillet 2006
08h15 `a 12h00
NOM : PR ´ENOM : SECTION :
Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
EXERCICE VALEUR POINTS
1 /13
2 /12
3 /17
4 /25
5 /33
TOTAL /100
NOTE /6
Bon travail et bonne chance !
1. SoitV unF-espace vectoriel de dimension finie. SoitP ∈L(V) tel que P◦P =P.
(a) Montrer queV ∼= kerP ⊕ImP. [6]
(b) Montrer que TrP est un nombre naturel.
[7]
2. (a) Supposons queT ∈L(V) et que~v∈V v´erifientTm−1~v=~0 mais Tm =~0 pour un certainm≥1. Montrer que (~v, T ~v, . . . , Tm−1~v) est lin´eairement ind´ependante.
[7]
2. (b) On consid`ereD∈L(P3(F)),
D(a0+a1t+a2t2+a3t3) =a1+ 2a2t+ 3a3t2. Trouver une baseB de P3(F) telle que
[5]
[D]B =
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
.
3. Soit V un F-espace vectoriel muni d’un produit scalaire h,i. D´efinir une application ϕ : L(V) ×L(V) → F par ϕ(S, T) := Tr(S ◦T∗).
Montrer queϕest un produit scalaire.
[17]
3. (suite)
4. Justifier votre r´eponse.
(a) Soit A ∈ Mat(3,7,R), et soit ~b ∈ R3. Consid´erer le syst`eme lin´eaireA~x=~b. Est-il possible que #{~c∈R7 |A~c=~b}= 4 ? [5]
(b) SoitV =P3(R). Existe-t-ilT ∈L(V) et bases B et B0 deV tels que
[5]
[T]B =
1 2 4 6
0 −1 3 4
0 −3 1 2
0 0 0 −1
et [T]B0 =
1 2 4 6
0 −1 3 4
0 0 −1 2
0 0 −4 1
?
4. (c) Est-ce quex2+x−2 peut ˆetre le polynˆome caract´eristique d’une isom´etrie complexe ?
[5]
(d) Soit V un R-espace vectoriel, et soit T ∈ L(V) un op´erateur normal, sans valeur propre r´eel. Est-ce que 2 divise Tr(T) ? [5]
(e) Est-ce que x4 − 4 peut ˆetre le polynˆome caract´eristique d’un op´erateur auto-adjoint ?
[5]
5. SoientV etW desF-espaces vectoriels.
(a) Qu’est-ce qu’un isomorphisme deV vers W? [2]
(b) D´emontrer que : [10]
i. si dimV = dimW < ∞, alors il existe un isomorphisme de V vers W;
ii. si dimV = dimW < ∞ et T ∈ L(V, W), alors T est un isomorphisme si et seulement si kerT ={~0}.
[7] 5. (c) Soient B etB0 des bases de V etW, respectivement. Donner la d´efinition de l’application
L(V, W)→Mat(m, n,F) :T 7→[T]B0,B
o`u n = dimV, m = dimW. Montrer que c’est bien un isomor- phisme.
[1]
(d) Qu’est-ce qu’une matrice inversible ?
5. (e) Soient V, W, B, B0 comme dans la partie (??). SoitT ∈L(V, W).
Montrer queT est un isomorphisme si et seulement si [T]B0,B est inversible.
[5]
5. (f) ´Etant donn´e deux bases B et B0 d’un F-espace vectoriel V de dimension finie, prouver qu’il existe un isomorphisme
[8]
ϕB0,B : Mat(n, n,F)→Mat(n, n,F) tel que ϕB0,B [T]B
= [T]B0 pour tout T ∈ L(V) et tel que Tr(ϕB0,B(A)) = Tr(A) et det(ϕB0,B(A)) = detA pour tout A ∈ Mat(n, n,F).
