EXERCICE VALEUR POINTS

Professeur K. Hess Bellwald

Sections de math´ematiques et de physique TRAVAIL ECRIT D’ALG`EBRE LIN´EAIRE

du 9 novembre 2007 9h `a 11h

NOM : PR ´ENOM : SECTION :

Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.

EXERCICE VALEUR POINTS

1 /17

2 /24

3 /30

4 /29

TOTAL /100

NOTE /6

Bon travail et bonne chance !

1. Soit A = (α_i,j) ∈ Mat(n, n;F). La trace de A, not´ee tr(A), est la somme des coefficients de la diagonale deA, i.e.,

tr(A) =

n

X

i=1

αi,i.

(a) Soit E = {A ∈ Mat(2,2;F) | tr(A) = 0}. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Mat(2,2;F) et calculer sa dimension.

Justifier votre r´eponse.

[10]

(b) Trouver un compl´ement `aEdans Mat(2,2;F), i.e., un sous-espace F de Mat(2,2;F) tel que E ⊕F = Mat(2,2;F). Justifier votre r´eponse.

[7]

2. SoitV un F-espace vectoriel, et soitX un ensemble.

(a) Montrer queF(X, V) admet une structure naturelle d’espace vec- toriel, qui g´en´eralise celle de F(X,F).

[18]

(b) Supposer queX={x₁, x2}. Etant donn´e une base (~v1, ..., ~vn) de V, trouver une base deF(X, V). Justifier votre r´eponse.

[6]

3. Indiquer la bonne r´eponse par une croix, et ensuite justifier votre r´eponse.

(a) Soient (~v1, ..., ~vn) et (w~1, ..., ~wn) des bases d’unF-espace vectoriel V. S’il existek∈[1, n−1] tel que span(~v₁, ..., ~v_k) = span(w~₁, ..., ~w_k), est-il vrai que pour tout l > k, il existeb1, ..., bn−k∈Ftels que

~v_l=

n−k

X

i=1

biw~_k+i?

Oui Non

[2]

Justification : [8]

(b) SoitV unF-espace vectoriel de dimension impaire. SoientU1, ..., Um

des sous-espaces vectoriels deV tels que dimUi = 2ⁱ pour tout i.

SiV = U₁+· · ·+U_m, existe-t-il ~u₁ ∈ U₁,...,~u_m ∈ U_m, pas tous nuls, tels que~u1+· · ·+~um=~0 ?

Oui Non

[2]

Justification : [8]

(c) SoientXetY des ensembles finis. S’il existe une liste lin´eairement ind´ependante (f₁, ..., f₅) de vecteurs deF(X×Y,F), est-il possible que #X+ #Y >4 ?

Oui Non

[2]

Justification : [8]

4. SoitV un F-espace vectoriel.

(a) Donner la d´efinition d’une liste finie de vecteurs lin´eairement ind´ependante deV.

[2]

(b) Est-ce que le vecteur~0 peut ˆetre membre d’une liste lin´eairement ind´ependante ? Justfier votre r´eponse.

[1+2]

(c) Donner la d´efinition du sous-espace engendr´e par une liste de vecteurs deV.

[2]

(d) Soientv1, ..., vn∈V r{~0}. Montrer que

span(~v₁, ..., ~v_m) = span(~v₁)⊕ · · · ⊕span(~v_m) si et seulement si (~v₁, ..., ~v_m) est lin´eairement ind´ependante.

[8]

(e) Enoncer le Th´eor`eme de la Borne.

[2]

(f) D´emontrer que si (~u1, ..., ~um) et (~v1, ..., ~vn) sont des bases deV, alorsm=n.

[5]

(g) Enoncer le Th´eor`eme du Ballon.

[2]

(h) D´emontrer que si V est de dimension finie et si U est un sous- espace vectoriel de V, alors il existe un sous-espace W de V tel queU ⊕W =V.

[5]