Professeur K. Hess Bellwald
Sections de math´ematiques et de physique
EXAMEN PROP ´EDEUTIQUE D’ALG `EBRE LIN´EAIRE du 4 octobre 2006
08h15 `a 12h00
NOM : PR ´ENOM : SECTION :
Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
EXERCICE VALEUR POINTS
1 /12
2 /14
3 /16
4 /25
5 /33
TOTAL /100
NOTE /6
Bon travail et bonne chance !
1. (a) Soit V un C-espace vectoriel, et soit T ∈ L(V), un op´erateur normal. Montrer que T est auto-adjoint si et seulement si toute valeur propre deT est r´eelle.
[6]
(b) SoitV unC-espace vectoriel, et soitT ∈L(V). Montrer que siT est normal, alorsT a une racine carr´ee, c.-`a.-d., il existeS ∈L(V) tel queS◦S =T.
[6]
2. SoitT ∈L(V, W).
(a) Montrer que siTest injective et (v1, ..., vn) est lin´eairement ind´ependante, alors (T(v1), ..., T(vn)) est lin´eairement ind´ependante.
[4]
(b) Montrer queT est injective si et seulement s’il existeS∈L(W, V) tell queS◦T =IdV. L’applicationS est uninverse `a gauche de T.
[6]
(c) Donner un exemple qui montre qu’un inverse `a gauche n’est pas forc´ement unique.
[4]
3. Consid´ererR4 muni du produit scalaire euclidien<, >euclid. PoserU = span(~u, ~v, ~w), o`u
~ u=
1 1 0 0
, ~v=
0 1 1 0
, et w~ =
0 0 1 1
.
Soit projU : R4 → U la projection orthogonale. Donner une formule aussi explicite que possible pour projU(~x), o`u
~ x=
x1 x2
x3 x4
.
Si B est la base usuelle (~e1, ..., ~e4) de R4, qu’est-ce que [projU]B? Calculer ker projU.
[16]
3. (suite)
4. Justifier votre r´eponse.
(a) SoitV un C-espace vectoriel. Soient S, S0 ∈L(V). S’il existe des bases orthnormalesB etB0 de V telles que
([S]B)ij =
[S0]B0
ij
=
(1 ifi=j 0 ifi6=j, existe-t-il une baseB00 orthonormale de V telle que
[S0◦S]B00
ij
=
(1 ifi=j 0 ifi6=j? [5]
(b) Soient
A=
−2 i 4
−i 0 1 + 2i
4 1−2i 3
et B=
2 1 0
0 0 −1
0 0 −3 +i
.
Existe-t-il une matrice inversibleP ∈Mat(3,3,C) telle queP−1AP = B?
[5]
4. (c) Soit T ∈ L(V), o`u V est un F-espace vectoriel de dimension finie. Consid´erer l’application d’´evaluation evT :Pn(F) → L(V), o`u evT(p(x)) = p(T). Si kerevT = {0} pour tout n ≤ 5, est-il possible que dimV = 3 ?
[5]
(d) Est-il possible de trouvera0, a1, b0, b1, c0, c1∈Rtels que
a0b0+a1b0+a2 0b1 + a13b1 = 0 a0c0+a1c0+a2 0c1 +a13c1 = 0 b0c0+b1c0+b2 0c1 +b13c1 = 0 et
ker
a0 b0 c0
a1 b1 c1
={~0}?
[5]
(e) Soit
A=
1 0 1 1 0 1
,
et soient
~b=
2
−2 2
∈R3 et ~x= 1
−1
∈R2.
Existe-t-il~y∈R2 tel que
kA~y−~bk<kA~x−~bk?
[5]
5. SoientV unF-espace vectoriel de dimension finie.
(a) Soient U1, ..., Un des sousespaces de V. Qu’est-ce que la somme U1+· · ·+Un? Quand est-ce que cette somme est directe ? Donner un exemple d’une somme U1+U2+U3 qui n’est pas directe, o`u tous lesUi sont distincts.
[7]
(b) SoientU1, U2 des sousespaces de V. Montrer que
dim(U1+U2) = dimU1+ dimU2−dimU1∩U2. [6]
5. (c) Soit U un sousespace deV. Uncompl´ement de U est un souses- paceW de V tel que U ⊕W =V. Montrer que tout sousespace admet un compl´ement. Est-ce que le compl´ement est unique ? Justifier.
[6]
(d) Supposer queV soit muni d’un produit scalaire <, >. Soit S un sousensemble de V. Donner la d´efinition du compl´ement ortho- gonalS⊥ deS, et montrer qu’il est un sousespace de V. SiU est un sousespace deV, montrer que U ⊕U⊥=V.
[8]
(e) Soit T ∈L(V). Montrer que siV =U1⊕ · · · ⊕Un, o`u toutUi est invariant par rapport `a T, alors il existe une base B de V telle que [T]B soit diagonale en blocs.
[6]
