Ecole Polytechnique F´´ ed´erale de Lausanne Alg`ebre lin´eaire I
Sections de math´ematiques et de physique TRAVAIL ECRIT D’ALG`EBRE LIN´EAIRE
du 13 novembre 2009 9h15 `a 11h
NOM : PR ´ENOM : SECTION :
Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
EXERCICE VALEUR POINTS
1 /30
2 /22
3 /20
4 /28
TOTAL /100
NOTE /6
Bon travail et bonne chance !
Alg`ebre lin´eaire I Page 2 sur 3
1. (a) Donner la d´efinition d´etaill´ee d’une base associ´ee `a un espace vectoriel (quelconque).
(b) SoitV un espace vectoriel de dimension finie etU un sous-espace deV. Montrer qu’il existe un sous-espaceW deV tel queU⊕W = V.
(c) Soit V et W des espaces vectoriels, et soit ϕ : V → W une application lin´eaire bijective. Montrer que si (e1, . . . , en) est une base deV, alors (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) est une base de W.
(d) Montrer que siU est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V de dimension finie, et que dim(U) = dim(V), alorsU =V.
Echelle : 6-9-9-6
2. SoitU ={(3y,2x,4x+ 5y)∈R3|x, y∈R} un sous-ensemble de R3. (a) Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3, vu comme
R-espace vectoriel.
(b) Trouver une base deU. Justifier votre r´eponse.
(c) D´eterminer la dimension deU.
(d) D´ecrire un sous-espace W de R3 tel que R3 =U ⊕W. Justifier votre r´eponse.
Echelle : 6-6-2-8
3. SoitT :P4(F)→P2(F) l’application d´efinie par T(p(X)) =p00(X)−2p(0) o`up00(X) d´esigne la deuxi`eme d´eriv´ee de p(X).
(a) Montrer queT est une application lin´eaire.
(b) Calculer la dimension de Ker(T).
(c) Calculer la dimension de Im(T).
(d) L’applicationT est-elle injective ? Justifier votre r´eponse.
(e) L’application T est-elle surjective ? Justifier votre r´eponse.
Echelle : 6-6-4-2-2
Alg`ebre lin´eaire I Page 3 sur 3
4. R´epondre aux questions suivantes, en justifiant toutes vos r´eponses.
(a) Existe-t-il unC-espace vectoriel poss´edant 1024 ´el´ements ? (b) SoitV =F(R,R), vu commeR-espace vectoriel. Est-ce queU =
{f ∈V |f est bijective }est un sous-espace vectoriel deV ? (c) SoitV = Mat(2,2,C), vu commeR-espace vectoriel, et consid´erons
le sous-R-espace vectoriel de V suivant : U =
A=
a b
c d
∈V
A=At
o`uA=
a b
c d
siA=
a b
c d
∈V. Quelle est la dimension deU surR?
(d) Soit V un F-espace vectoriel de dimensionm et W un F-espace vectoriel de dimension n. Soit ϕ : V → W une application lin´eaire. Quelles conditions les entiers m et n doivent-ils satis- faire pour que ϕ soit bijective ? Est-ce que cette condition est suffisante ?
Echelle : 6-4-10-8
