Ecole Polytechnique F´´ ed´erale de Lausanne Alg`ebre lin´eaire II
Professeur K. Hess Bellwald
Sections de math´ematiques et de physique TRAVAIL ECRIT
du 29 avril 2010 11h15 `a 13h
NOM : PR ´ENOM : SECTION :
Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´electronique n’est permis. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
EXERCICE VALEUR POINTS
1 /16
2 /17
3 /30
4 /37
TOTAL /100
NOTE /6
Bon travail et bonne chance !
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1. Soit V un F-espace vectoriel de dimension finie. Soient T ∈ L(V) et p∈P(F).
(a) SoitB une base deV. Montrer que [p(T)]B,B=p [T]B,B . [3]
(b) Montrer quep(Spec(T))⊆Spec(p(T)), o`u
p(Spec(T)) :={p(λ)|λ∈Spec(T)}.
[3]
(c) Montrer que cette inclusion est une ´egalit´e siF=C.
[5]
(d) Montrer que cette inclusion peut ˆetre stricte dans le cas o`uF=R, en consid´erant par exemple p=X2+ 1 et
T :R2 →R2.(x, y)7→(−y, x).
[5]
2. SoientV etW desF-espaces vectoriels. SoientT ∈L(V, W) etµ∈F. Si < −,− >W est un produit scalaire sur W, donner des conditions n´ecessaires et suffisantes pour que la forme
ϕT :V ×V →F: (~v, ~v0)7→µ·< T(~v), T(~v0)>W soit un produit scalaire surV. Justifier votre r´eponse.
[17]
3. R´epondre oui ou non, et ensuite justifier votre r´eponse.
[3×(2 + 8)]
(a) Consid´ererF4, muni du produit scalaire euclidien pond´er´e `a poids 1,12,13,15. Soit T : F4 → F l’application lin´eaire sp´ecifi´ee par T(~ei) = 1 pour tout 1 ≤ i ≤ 4. Existe-t-il ~v ∈ F4 r{~0} tel que|T(~v)|= 12· ||~v||, o`u la norme de~v est calcul´ee par rapport au produit scalaire pr´ecis´e ci-dessus ?
(b) Consid´erer R2, muni du produit scalaire euclidien usuel. Existe- t-ilT0, T1, T2, T3, T4 ∈L(R2)r{OR2} eta0, a1, a2, a3, a4∈Rtels que
Ti∗ =aiTi
pour tout 0≤i≤4, tandis que ai6=aj si i6=j? (c) Soit p(x) =x3+ax2+bx+c∈P3(R). Si
Z 1 0
p(x)q(x)dx= 0 pour toutq(x)∈P2(R), peut-on conclure que
Z 1 0
p(x)2dx < 1 4?
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4. Soient V et W des F-espaces vectoriels, munis de produits scalaires
<−,−>V et <−,−>W, respectivement. On suppose toujours que dimV <∞.
(a) Qu’est-ce qu’une base orthonormale deV ? [2]
(b) Si B est une base orthonormale de V et ~v ∈ V, quelle est la formule pour [~v]B? Expliquer pourquoi la formule est vraie.
[2 + 3]
(c) Montrer que siW est un sous-espace vectoriel deV, alorsV admet une base orthonormale (~u1, ..., ~un) telle que (~u1, ..., ~uk) soit une base deW pour un certain k.
[5]
(d) SoitT ∈L(V, W), et soitT∗ ∈L(W, V) son adjoint. Donner une formule explicite pourT∗, et v´erifier la lin´earit´e deT∗.
[2 + 4]
(e) Comment peut-on caract´eriserT∗? Montrer que la formule expli- cite que vous avez donn´ee ci-dessus implique cette caract´erisation.
[2 + 4]
(f) Montrer que la caract´erisation de l’adjoint implique que si B = (~u1, ..., ~un) est une base orthonormale de V, alors
[T∗(w)]~ B =
< ~w, T(~u1)>W
...
< ~w, T(~un)>W
.
(Il faut montrer comment obtenir ce r´esultat sans la formule explicite pourT∗!)
[5]
(g) Montrer que siW est un sous-espace vectoriel deV, alors l’adjoint de la projection orthogonale est l’inclusion deW dans V. [7]
