Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne Section des math´ematiques

Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne Section des math´ ematiques

Joachim Stubbe Analyse I

Sections El, GM Examen prop´edeutique I (r´egime 2010-2011)

R´ep´etion en classe

Exo 1 Exo 2 Exo 3 Exo 4 Exo 5 Exo 6

/ 10 /10 / 15 /10 / 10 /15

Les notes avaient ´et´e calcul´es sur 60 points.

Les stats :

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

2 7 8 17 22 27 28 25 19 17 15

1. Montrer que pout tout n∈N\ {0}

Xn

k=1

(−1)^k+1k

k²− ¹₄ = 1 + (−1)ⁿ⁺¹ 2n+ 1 . Calculer ensuite la s´erie

X∞

k=1

(−1)^k+1k k²− ¹₄ . Converge-t-elle absolument ?

Corrig´e. Pour n= 1 nous avons X1

k=1

(−1)^k+1k

k²− ¹₄ = 1

1− ¹₄ = 4

3 = 1 + (−1)¹⁺¹ 2·1 + 1 donc l’affirmation est vraie. Pour conclure notons que

Xn+1

k=1

(−1)^k+1k k² −¹₄ =

Xn

k=1

(−1)^k+1k

k²−¹₄ +(−1)ⁿ⁺²(n+ 1) (n+ 1)²− ¹₄

= 1 + (−1)ⁿ⁺¹

2n+ 1 + (−1)ⁿ⁺²4(n+ 1) (2n+ 1)(2n+ 3)

= 1 + (−1)ⁿ⁺²(−2n−3)

(2n+ 1)(2n+ 3) + (−1)ⁿ⁺²4(n+ 1) (2n+ 1)(2n+ 3)

= 1 + (−1)ⁿ⁺² 2n+ 3 Par cons´equent

X∞

k=1

(−1)^k+1k k²− ¹₄ = 1.

Cette s´erie ne converge pas absolument car

¯¯

¯¯(−1)^k+1k k² −¹₄

¯¯

¯¯≥ k k² = 1

k

2. (a) Donner la s´erie exponentielle et montrer qu’elle est abso- lument convergente pour tout x∈R.

(b) En utilisant

cosx= X∞

k=0

(−1)^kx^2k (2k)!

montrer

cos(x) + cosh(x) = 2 X∞

k=0

x^4k (4k)!.

(c) Montrer quex= 0 est l’unique point stationnaire de cos(x)+

cosh(x).

(d) Donner la s´erie enti`ere de sinh(x) + sin(x).

Corrig´e.

exp(x) = X∞

k=0

x^k (k)!

et sa convergence selon d’Almenbert ou Cauchy et de cosh(x) = 1

2exp(x) + 1

2exp(−x) = X∞

k=0

x^2k (2k)!. (les puissances impaires disparaissent) conclure que

cos(x) + cosh(x) = 2 X∞

k=0

x^4k (4k)!.

Il faut mentionner la convergence absolue qui permet changer l’ordre de sommation !

d

dx (cos(x) + cosh(x)) =−sin(x) + sinh(x) = 2 X∞

k=1

x^4k−1 (4k−1)!

doncx= 0 est un point staionnaire. D’autre part (convergence absolue de la s´erie enti`ere)

d

dx (cos(x) + cosh(x)) = 2 X∞

k=1

x^4k−1 (4k−1)!

La s´erie est strictement positive pour toutx >0 et strictement n´egative pourx <0 (4k−1 est impair). La partie (d) soit par calcul direct ou par

d³

dx³ (cos(x) + cosh(x)) = sin(x) + sinh(x) = 2 X∞

k=1

x^4k−3 (4k−3)!.

3. Soit f : [−5,3]→R donn´e par

f(x) =x²+x−4|x|+ 2.

o`u|x| d´esigne la valeur absolue de x.

(a) Donner les z´eros def.

(b) Donner les extremums locaux de f.

(c) Donner minf(x) et maxf(x) sur l’intervalle [−5,3]. En quels pointsfatteint ces valeurs ? Donner une liste compl`ete de ces points.

(d) Montrer queF : [−5,3]→R d´efinie par F(x) :=

Z _x

−5

f(t)dt v´erifie

F(x) = x³ 3 + x²

2 −2x|x|+ 2x−65 6 . En quels points F atteint des extremums locaux ?

Corrig´e :

(a) Les z´eros de f : 2,1,−5/2 + 1/2√

17,−5/2−1/2√ 17

(b) Les extremums locaux def : en −5/2,3/2 (points station- naires de f, min loc) et en 0 (max loc)

f(−5/2) = −17/4, f(3/2) =−1/4, f(0) = 2

(c1) minf(x) = −17/4 atteint en x=−5/2

(c2) maxf(x) = 2 atteint enx=−5,0,3

(d) V´erifierF⁰(x) = f(x) pourx6= 0 et en x= 0 (voir quex|x|

est d´erivable) et F(−5) = 0 . Les extremums locaux de F se trouvent en : les z´eros def (1 point).

Le graphe def(x) :

–4 –3 –2 –1 0 1 2

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3

x

Le graphe deF(x) :

–10 –8 –6 –4 –2 0

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3

x

4. Donner les limites suivantes (entrer vos r´esultats dans ces ´equations) : (a)

x→0lim

√9 +x²−3

x = 0

(b)

x→5lim+

x−5

√x²−25 = 0 (c)

limx→0

2x−ln(2 +x)

1−ln(1 +x) =−ln 2 (d)

x→∞lim

sin(₂^√π_x) ln(√

x−1)−ln√

x =−π/2 (e)

x→∞lim

sinh(6x) cosh⁶(x) = 32

5. Donner le d´eveloppement limit´e d’ordre 3 des fonctions sui- vantes en x= 0 (avec les pr´ecises ”o” ou ”O”) :

Notation : Si les ”o” ou ”O” sont faux ou pas donn´es d´eduire 1 point (donc 0 point pour a etb).

f(x) =

x³+ 4x²+x+ 3 = 3 +x+ 4x²+x³ c’est exact

x⁵+x³+x²+ 1 = 1 +x²+x³+O(x⁵)

1

1−x = 1 +x+x²+x³+O(x⁴) (s´erie g´eom´etrique)

(x²+ 2) cosx = 2 +O(x⁴)

e^xln(1+x) = 1 +x²− x³

2 +O(x⁴)

6. Donner les int´egrales suivantes (entrer vos r´esultats dans ces

´equations) :

(a) Z ₁

0

x+ 2

x+ 3 dx= ln(3) + 1−2 ln(2)

(b) Z _x

0

sinht

1 + cosht dt =−ln(2) + ln(cosh(x) + 1) i.e. voir la d´eriv´ee logarithmique

(c) Z _∞

0

e^−xcosx dx= 1/2

par deux int´egrations par partie (voir polycopie) (d)

Z ₁

0

t⁵√

1−t³ dt1 3

Z ₁

0

z√

1−z dz = Z ₁

0

(z−1+1)√

1−z dz = 4/45 par le changement de variable z =t³, donc 3t²dt=dz.

(e) Z ^π

2

0

tanx

1 + tan²x dx= Z ^π

2

0

sinxcosx dx= 1/2 en utilisant tanx= sinx/cosx.