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EXERCICE VALEUR POINTS

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

´Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne Alg`ebre lin´eaire I

Sections de math´ematiques et de physique TRAVAIL ECRIT D’ALG`EBRE LIN´EAIRE

du 13 novembre 2009 9h15 `a 11h

NOM : PR´ENOM : SECTION :

Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.

EXERCICE VALEUR POINTS

1 /30

2 /22

3 /20

4 /28

TOTAL /100

NOTE /6

Bon travail et bonne chance !

1. (a) Donner la d´efinition d´etaill´ee d’une base associ´ee `a un espace vectoriel (quelconque).

(b) SoitV un espace vectoriel de dimension finie etUun sous-espace deV. Montrer qu’il existe un sous-espaceWdeVtel queU⊕W= V.

(c) SoitV et W des espaces vectoriels, et soitϕ : V → W une application lin´eaire bijective. Montrer que si (e1, . . . , en) est une base deV, alors (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) est une base deW.

(d) Montrer que siUest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V de dimension finie, et que dim(U) = dim(V), alorsU=V.

Echelle : 6-9-9-6

(2)

Alg`ebre lin´eaire I Page 3 sur 9 Alg`ebre lin´eaire I Page 4 sur 9

2. SoitU={(3y,2x,4x+ 5y)∈R3|x, y∈R}un sous-ensemble deR3. (a) Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3, vu comme

R-espace vectoriel.

(b) Trouver une base deU. Justifier votre r´eponse.

(c) D´eterminer la dimension deU.

(d) D´ecrire un sous-espaceW deR3 tel queR3 =U⊕W. Justifier votre r´eponse.

Echelle : 6-6-2-8

(3)

3. SoitT:P4(F)→P2(F) l’application d´efinie par T(p(X)) =p00(X)−2p(0) o`up00(X) d´esigne la deuxi`eme d´eriv´ee dep(X).

(a) Montrer queT est une application lin´eaire.

(b) Calculer la dimension de Ker(T).

(c) Calculer la dimension de Im(T).

(d) L’applicationTest-elle injective ? Justifier votre r´eponse.

(e) L’applicationTest-elle surjective ? Justifier votre r´eponse.

(4)

Alg`ebre lin´eaire I Page 7 sur 9 Alg`ebre lin´eaire I Page 8 sur 9

4. R´epondre aux questions suivantes, en justifiant toutes vos r´eponses.

(a) Existe-t-il unC-espace vectoriel poss´edant 1024 ´el´ements ? (b) SoitV=F(R,R), vu commeR-espace vectoriel. Est-ce queU=

{f∈V|fest bijective}est un sous-espace vectoriel deV? (c) SoitV = Mat(2,2,C), vu commeR-espace vectoriel, et consid´erons

le sous-R-espace vectoriel deV suivant : U=

A=

a b

c d

∈V A=At

o`uA=

a b

c d

siA=

a b

c d

∈V. Quelle est la dimension deUsurR?

(d) SoitVunF-espace vectoriel de dimensionnetWunF-espace vec- toriel de dimensionm. Soitϕ:V→W une application lin´eaire.

Quelles conditions les entiersnetmdoivent-ils satisfaire pour queϕsoit bijective ? Est-ce que cette condition est suffisante ?

Echelle : 6-4-10-8

(5)

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