´Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne Alg`ebre lin´eaire I
Sections de math´ematiques et de physique TRAVAIL ECRIT D’ALG`EBRE LIN´EAIRE
du 13 novembre 2009 9h15 `a 11h
NOM : PR´ENOM : SECTION :
Aucun document n’est autoris´e. Aucun appareil ´el´ectronique n’est permis. Ne pas d´egrafer le cahier. Utiliser les feuilles de couleur comme brouillons. Tous les calculs et raisonnements doivent figurer dans le dossier rendu.
EXERCICE VALEUR POINTS
1 /30
2 /22
3 /20
4 /28
TOTAL /100
NOTE /6
Bon travail et bonne chance !
1. (a) Donner la d´efinition d´etaill´ee d’une base associ´ee `a un espace vectoriel (quelconque).
(b) SoitV un espace vectoriel de dimension finie etUun sous-espace deV. Montrer qu’il existe un sous-espaceWdeVtel queU⊕W= V.
(c) SoitV et W des espaces vectoriels, et soitϕ : V → W une application lin´eaire bijective. Montrer que si (e1, . . . , en) est une base deV, alors (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) est une base deW.
(d) Montrer que siUest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V de dimension finie, et que dim(U) = dim(V), alorsU=V.
Echelle : 6-9-9-6
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2. SoitU={(3y,2x,4x+ 5y)∈R3|x, y∈R}un sous-ensemble deR3. (a) Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3, vu comme
R-espace vectoriel.
(b) Trouver une base deU. Justifier votre r´eponse.
(c) D´eterminer la dimension deU.
(d) D´ecrire un sous-espaceW deR3 tel queR3 =U⊕W. Justifier votre r´eponse.
Echelle : 6-6-2-8
3. SoitT:P4(F)→P2(F) l’application d´efinie par T(p(X)) =p00(X)−2p(0) o`up00(X) d´esigne la deuxi`eme d´eriv´ee dep(X).
(a) Montrer queT est une application lin´eaire.
(b) Calculer la dimension de Ker(T).
(c) Calculer la dimension de Im(T).
(d) L’applicationTest-elle injective ? Justifier votre r´eponse.
(e) L’applicationTest-elle surjective ? Justifier votre r´eponse.
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4. R´epondre aux questions suivantes, en justifiant toutes vos r´eponses.
(a) Existe-t-il unC-espace vectoriel poss´edant 1024 ´el´ements ? (b) SoitV=F(R,R), vu commeR-espace vectoriel. Est-ce queU=
{f∈V|fest bijective}est un sous-espace vectoriel deV? (c) SoitV = Mat(2,2,C), vu commeR-espace vectoriel, et consid´erons
le sous-R-espace vectoriel deV suivant : U=
A=
a b
c d
∈V A=At
o`uA=
a b
c d
siA=
a b
c d
∈V. Quelle est la dimension deUsurR?
(d) SoitVunF-espace vectoriel de dimensionnetWunF-espace vec- toriel de dimensionm. Soitϕ:V→W une application lin´eaire.
Quelles conditions les entiersnetmdoivent-ils satisfaire pour queϕsoit bijective ? Est-ce que cette condition est suffisante ?
Echelle : 6-4-10-8