2 ´Epreuvedemath´ematiquesn Concoursblancnovembre2020

ECS 1

Lyc´ ee H´ el` ene Boucher

Concours blanc novembre 2020

Epreuve de math´ ´ ematiques n ^o 2

Vendredi 27 novembre 2020

Dur´ee : 4 heures

Le sujet comporte 5 pages dont cette page de garde.

Les calculatrices et toute documentation sont interdites.

Si un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des

initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Les diff´erents probl`emes sont ind´ependants et pourront ˆetre abord´es dans l’ordre souhait´e.

Les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et les r´esultats encadr´es.

La pr´esentation et la r´edaction entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.

Id´ee de r´epartition du temps de composition : Lecture : 5%

Exercice 1 : 3−5%

Probl`eme 1 : 20−25%

Probl`eme 2 : 45−50%

Probl`eme 3 : 20−25%

Exercice 1

Toutes les questions sont ind´ependantes, le langage utilis´e est Scilab 1. Quelle est la r´eponse de Scilab `a l’ex´ecution defloor(3-sqrt(28))?

2. On a assign´e une valeur `a chaque variable x et y. ´Ecrire une instruction ou une suite d’instructions qui permet d’´echanger les valeurs de xety.

3. ´Etant donn´e un nombre N, ´ecrire une suite d’instructions qui permet d’afficher 'pair' si ce nombre est pair et'impair's’il est impair ?

4. Un ´el`eve a ex´ecut´e en Scilab --> a = 'Bonjour';

--> disp('a')

Quelle r´eponse a-t-il obtenue ?

5. ´Ecrire une instruction ou une suite d’instructions qui calcule et affiche la somme

496

X

k=1

1 k. Probl`eme 1

Pour tout n∈N^∗, on d´esigne par f_n la fonction d´efinie par fn(x) =xⁿln(1 +x).

On note C_n sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonormal.

La question (2b) est ind´ependante du reste du probl`eme.

Etude de fonctions ´

1. Donner l’intervalleI de d´efinition des fonctionsf_n. 2. Pour toutn∈N^∗, soith_n la fonction d´efinie surI par

h_n(x) =nln(1 +x) + x 1 +x. (a) ´Etudier les variations et le signe de la fonction h_n surI.

(b) D´eterminer une ´equation de T_n la tangente au graphe deh_n au point d’abscisse 1. Puis montrer que toutes les droitesTn (pourn∈N^∗ toujours) sont concourantes en un point que l’on pr´ecisera.

3. En d´eduire les variations de la fonction fn sur I (si besoin, on pourra distinguer diff´erents cas pour n). Dresser le(s) tableau(x) de variations correspondant(s) et pr´eciser les limites aux bords deI. 4. Trouver deux points du plan par lesquels passent toutes les courbesC_n. Sont-ce les seuls ? 5. (a) Pour toutx >0, d´eterminer le signe defn+1(x)−fn(x) avec n∈N^∗.

(b) Pour toutx∈]−1,0[ d´eterminer le signe def3(x)−f1(x).

(c) Pr´eciser la nature de la branche infinie de C₁,C₂ et C₃ en +∞.

(d) Repr´esenter sur un mˆeme graphique les courbes C₁, C₂ et C₃ ainsi que leur tangente au point d’abscisse 0.

Suite et fin

6. Pour toutn∈N^∗, justifier l’existence et l’unicit´e d’un ´el´ement a_n∈R^∗+ tel quef_n(a_n) = 1.

7. Montrer que∀n∈N^∗,an>1.

8. En utilisant le signe de fn+1−fn et les variations de fn, compareran etan+1. En d´eduire le sens de variation de la suite (a_n).

9. D´eterminer lim

n→+∞fn

1 + 1

n

. En d´eduire que lim

n→+∞an= 1.

Probl`eme 2

Ce probl`eme a pour but de d´emontrer quelques propri´et´es g´eom´etriques `a l’aide des nombres complexes.

Pas d’inqui´etude, la plupart des notions de g´eom´etrie utiles remontent `a la seconde ou `a la premi`ere. Elles sont rappel´ees par des petits paragraphes clairement identifi´esRappel.

Notations. Dans tout le probl`eme, le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i ,−→

j). Un point M du plan est rep´er´e par ses coordonn´ees (x,y) et on lui associe une affixez=x+iy∈C. De la mˆeme mani`ere, un nombre complexez=x+iyest aussi l’affixe d’un vecteur−→u de composantes (x,y) dans la base (−→

i ,−→ j).

Rappel. Etant donn´´ es deux vecteurs −→u₁(x₁,y₁) et −→u₂(x₂,y₂) non nuls, on dit que les deux vecteurs −→u₁ et

−

→u₂ sont orthogonaux lorsqu’ils dirigent deux droites perpendiculaires. On dit qu’ils sont colin´eaires lorsqu’ils dirigent deux droites parall`eles (ou confondues).

A G´ en´ eralit´ es

Soit −→u₁ et−→u₂ deux vecteurs non nuls du plan, d’affixes respectives z₁ etz₂. 1. Montrer que la mesure de l’angle orient´e (−→u₁,−→u₂) est un argument de z₂

z1

. 2. Montrer que :

• −→u1 et−→u2 sont orthogonaux si et seulement si z2

z1

∈iR.

• −→u₁ et−→u₂ sont colin´eaires si et seulement si z₂ z1

∈R 3. Montrer que :

• −→u₁ et−→u₂ sont orthogonaux si et seulement siz₁z₂+z₁z₂= 0.

• −→u₁ et−→u₂ sont colin´eaires si et seulement siz₁z₂−z₁z₂ = 0 On pourra librement utiliser dans la suite ces caract´erisations.

B Propri´ et´ e des m´ ediatrices

Soit A, B et C trois points du plan non align´es, d’affixes respectives a, b et c. On note ∆AB, ∆AC et

∆_BC les m´ediatrices des segments [AB], [AC] et [BC]

Rappel. La m´ediatrice du segment [AB] est l’ensemble des points ´equidistants de A et B. Elle est per- pendiculaire `a la droite (AB) et passe par le milieu de [AB].

4. Montrer qu’un pointM d’affixe z appartient `a ∆_AB si et seulement si : (b−a)z+ (b−a)z=bb−aa.

5. De mani`ere analogue, donner (sans calcul) les conditions d’appartenance `a ∆AC et ∆BC. 6. Justifier que ∆AB et ∆AC sont s´ecantes et montrer que leur point d’intersection a pour affixe

ω= ab(b−a) +bc(c−b) +ac(a−c) ab−ba+bc−cb+ca−ac . On note Ω le point d’affixe ω.

7. Justifiez le r´esultat bien connu suivant : les m´ediatrices du triangle ABC sont concourantes (en Ω).

C Droite de Simson

On poursuit avec les mˆemes notations et les r´esultats (´eventuellement admis) de la partie pr´ec´edente.

8. Justifier que |a−ω|= |b−ω|= |c−ω| et en donner une interpr´etation g´eom´etrique. On note r ce module commun. En d´eduire qu’il existe trois nombres r´eelsα,β etγ tels que







a=ω+re^iα b=ω+re^iβ c=ω+re^iγ

. 9. (a) Donner le module et un argument dec−b(on pourra penser `a l’astuce de l’angle moiti´e). Justifier

queβ etγ sont distincts modulo 2π. On montre de mˆeme queα,β etγ sont distincts modulo 2π.

(b) Exprimer c−b

c−b en fonction de β etγ.

10. Soit M un point d’affixe z qui n’est pas sur les cˆot´es du triangle ABC. On note A⁰, B⁰ et C⁰ ses projet´es orthogonaux sur les droites (BC), (AC) et (AB) respectivement.

Rappel. Le projet´e du point M sur (BC) est le point A⁰ de la droite (BC) tel que (M A⁰) et (BC) soient perpendiculaires.

(a) Que peut-on dire des vecteurs −−→

M A⁰ et −−→

BC? Des vecteurs −−→

BA⁰ et −−→

BC? Et des vecteurs −−→

CA⁰ et

−−→ BC?

(b) En d´eduire que







(a⁰−z)(c−b) + (a⁰−z)(c−b) = 0 (a⁰−b)(c−b)−(a⁰−b)(c−b) = 0 (a⁰−c)(c−b)−(a⁰−c)(c−b) = 0

.(on pourra penser `a la question 3)

(c) En d´eduire quea⁰ = z+b

2 −z−b

2 e^i(β+γ)= z+c

2 −z−c

2 e^i(β+γ).

(d) Donner, sans calcul, des expressions analogues pourb⁰ etc⁰ en fonction de a, b, c, α, β etγ. 11. (a) Exprimerc⁰−b⁰ sous forme de produit, donner sans calcul une formule analogue poura⁰−c⁰ puis

montrer que

c⁰−b⁰

a⁰−c⁰ =e^iα−β2 ×

sin_γ−β

2

sin ^α−γ₂ ×z−a z−b.

(b) `A l’aide des expressions de la question 8, exprimerae^i(α−β)−betbe^i(α−β)−aen fonction de ω, α etβ.

(c) Montrer, toujours `a l’aide de la question 8, queabe^i(α−β)−ab= (ωω−r²)(e^i(α−β)−1).

(d) D´eduire de tout cela que c⁰−b⁰

a⁰−c⁰ est r´eel si et seulement si zz−zω−zω+ωω−r² = 0.

(e) Conclusion : montrer que A⁰, B⁰ et C⁰ sont align´es si et seulement si M appartient au cercle circonscrit au triangleABC.

Lorsque c’est r´ealis´e, la droite reliant A⁰,B⁰ et C⁰ est appel´ee droite de Simsondu point M, du nom du math´ematicien ´ecossais Robert Simson.

Probl`eme 3 Soit la fonction

f : R −→ R x 7−→ e^2x−1

e^2x+ 1.

A Premi` ere partie

1. Montrer quef est impaire.

2. Calculer la d´eriv´ee et ´etudier les variations def. 3. Calculer les limites de f en +∞et −∞.

4. Tracer une allure de sa courbe repr´esentative.

5. On d´esigne par I l’intervalle ]−1,1[. Montrer que f r´ealise une bijection de R sur I puis calculer sa r´eciproque f⁻¹.

6. Montrer que

∀a,b∈R, f(a+b) = f(a) +f(b) 1 +f(a)f(b). 7. En d´eduire que siα etβ appartiennent `a l’intervalle I, alors α+β

1 +αβ appartient `a I.

B Deuxi` eme partie

Dans l’ensemble Cdes nombres complexes, on appelle D le sous-ensemble D ={z∈C| |z|<1}.

Soit α∈I.

1. Soit z∈D. Montrer que|z−α|<|1−αz|.

2. En d´eduire que siz∈D, alors z−α

1−αz est d´efini et appartient `a D. 3. Pour toutα∈I, on a donc d´efini une application

hα: D −→ D z 7−→ z−α

1−αz. Montrer que pour tousα, β ∈I, on ah_α◦h_β =hα+β

1+αβ

. 4. On poseF ={h_α|α∈I} et

H : R −→ F a 7−→ h_f(a). Montrer queH(a+b) =h_f(a)◦h_f(b).

5. En d´eduire quehα est une bijection et d´eterminer sa bijection r´eciproque.