ECS 1
Lyc´ ee H´ el` ene Boucher
Concours blanc novembre 2020
Epreuve de math´ ´ ematiques n o 1
Mardi 24 novembre 2020
Dur´ee : 4 heures
Le sujet comporte 5 pages dont cette page de garde.
Les calculatrices et toute documentation sont interdites.
Si un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Les diff´erents probl`emes sont ind´ependants et pourront ˆetre abord´es dans l’ordre souhait´e.
Les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et les r´esultats encadr´es.
La pr´esentation et la r´edaction entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.
Id´ee de r´epartition du temps de composition : Lecture : 5%
Exercice 1 : 25−30%
Probl`eme 1 : 15−20%
Probl`eme 2 : 10−15%
Probl`eme 3 : 35−40%
Exercice 1
La soci´et´e Pikflouz lance un jeu de hasard et h´esite entre plusieurs m´ethodes pour le tirage au sort.
Il s’agira (voir dessin ci-dessous) d’une grille compos´ee de 45 cases r´eparties en 5 lignes (rep´er´ees par une lettre de A `a E) de 9 colonnes (num´erot´ees de 1 `a 9).
E D C B A
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Le joueur doit choisir 5 cases dans la grille, les cocher et esp´erer qu’elles co¨ıncideront avec celles qui apparaˆıtront lors du grand tirage au sort.
1. Si le joueur choisit librement les 5 cases `a cocher, combien de grilles peuvent-elles ainsi ˆetre jou´ees ? Description de l’exp´erience. Lors du grand tirage au sort, lagrille gagnante r´esulte du choix de 5 cases au hasard.
Le choix d’une case au hasard se fera toujours de la mˆeme mani`ere : en tirant au sort une lettre et un chiffre.
Pour cela, on dispose de deux urnes : la premi`ere contient 5 boules chacune figurant une lettre (de A `a E) et la deuxi`eme contient 9 boules num´erot´ees de 1 `a 9. On pioche une boule dans chaque urne. La lettre et le num´ero ainsi tir´es d´eterminent la case en question.
Exemple. Si on pioche les boules A et 9, c’est la case tout en haut `a droite de la grille qui sera choisie.
2. Premi`ere m´ethode de tirage : on pioche une boule dans la premi`ere urne et une dans la seconde. On note la case ainsi choisie, puis on remet les deux boules dans leurs urnes respectives et on recommence.
Si une case d´ej`a choisie est `a nouveau tir´ee au sort, on l’ignore et on recommence jusqu’`a avoir choisi cinq cases diff´erentes.
(a) Combien de grilles gagnantes peuvent-elles ˆetre ainsi obtenues ?
(b) Apr`es le grand tirage au sort, on accorde un lot (plus ou moins important) `a tous les joueurs dont la grille jou´ee comporte au moins une case en commun avec la grille gagnante. Le petit Ludovic a jou´e une grille. Combien de grilles gagnantes lui permettent-elles de recevoir un lot ?
3. Deuxi`eme m´ethode de tirage : on pioche une boule dans la premi`ere urne et une dans la seconde.
On note la case ainsi choisie, puis on remet la boule num´erot´ee dans son urne, mais celle donnant la lettre n’est pas remise. On recommence jusqu’`a avoir choisi cinq cases. Combien de grilles gagnantes peuvent-elles ˆetre ainsi obtenues ?
4. Troisi`eme m´ethode de tirage : on pioche une boule dans la premi`ere urne et une dans la seconde. On note la case ainsi choisie, puis la boule donnant la lettre est remise dans son urne, mais celle donnant le num´ero n’est pas remise. On recommence jusqu’`a avoir choisi cinq cases. Combien de grilles gagnantes peuvent-elles ˆetre ainsi obtenues ?
5. Quatri`eme m´ethode de tirage : on pioche une boule dans la premi`ere urne et une dans la seconde.
On note la case ainsi choisie, puis aucune des deux boules n’est remise dans les urnes pour la suite.
On recommence jusqu’`a avoir choisi cinq cases. Combien de grilles gagnantes peuvent-elles ˆetre ainsi obtenues ?
6. Pour des raisons de superstition, la petite Victoria joue toujours la case C6. Pour chacune des m´ethodes pr´ec´edentes de tirage, donner le nombre de grilles gagnantes contenant la case C6.
Probl`eme 1
Soit x∈[0,1] etn∈N∗. L’objet de ce probl`eme est de majorer l’expression1 f(x) =
n
X
k=0
x−k n
n k
xk(1−x)n−k.
Premi` eres sommes
1. Montrer que
n
X
k=0
n k
xk(1−x)n−k = 1.
2. Montrer que
n
X
k=0
k n
k
xk(1−x)n−k =nx.
3. Montrer que
n
X
k=0
k(k−1) n
k
xk(1−x)n−k=n(n−1)x2. 4. D´eduire des r´esultats pr´ec´edents que
n
X
k=0
x−k
n 2
n k
xk(1−x)n−k= x(1−x) n .
La somme qui nous int´ eresse
On note :
• A l’ensemble des entiersk∈J0, nKtels que
x− k n 6 1
√n
• B l’ensemble des entiersk∈J0, nKtels que
x− k n
> 1
√n. On appelle alorsfA(x) =X
k∈A
x−k n
n k
xk(1−x)n−k etfB(x) =X
k∈B
x− k n
n k
xk(1−x)n−k. 5. Montrer quefA(x)6 1
√n. 6. Montrer quefB(x)6 x(1−x)
√n
7. Effectuer l’´etude de la fonction x7→x(1−x) sur [0,1].
8. En d´eduire quef(x)6 5 4√
n.
1. Cette question peut vous paraˆıtre un peu artificielle aujourd’hui mais les ingr´edients de cette formule viennent entre autres de lois de probabilit´es courantes et bien connues que vous ´etudierez sous toutes les coutures au fil de ces deux ann´ees.
Probl`eme 2
Pour tout p∈N, on d´efinitap =√
p+ietup = ap ap
=
√p+i
√p−i. 1. D´eterminer le module de up.
Une question int´eressante est de savoir si up est une racine de l’unit´e, c’est-`a-dire s’il existe n∈N∗ tel queunp = 1. La suite de ce probl`eme se limite `a l’´etude de quelques exemples simples.
2. Cas p= 1. Calculeru1 et r´epondre `a la question dans ce cas.
3. Cas p= 3.
(a) Calculer a3 sous forme exponentielle.
(b) R´esoudre l’´equation z6 = 1 et montrer que u3 en est une solution.
4. Cas p= 4 : ´etude deu4 = 2 +i
2−i. Supposons qu’il existen∈N∗ tel queun4 = 1.
(a) Peut-on avoirn= 1 ?
(b) On suppose dor´enavant que n>2 et on pose S =
n−1
X
k=1
n k
(2−i)k(2i)n−k. Montrer qu’il existe deux entiers Q,R∈Ztels que S= (2−i)(Q+iR).
(c) `A l’aide de la formule du binˆome de Newton et du fait queun4 = 1, simplifier la sommeS.
(d) En calculant|S|de deux mani`eres diff´erentes, mettre en ´evidence une absurdit´e puis conclure.
Probl`eme 3
Pour tout n entier sup´erieur ou ´egal `a 3, on note tn = tanπ n
. Le but de ce probl`eme est de proposer des moyens de d´eterminer tn.
A Pr´ eliminaire
1. (a) Soitx, y∈R. D´emontrer que tan(x+y) = tan(x) + tan(y)
1−tan(x) tan(y) en pr´ecisant `a quelle(s) condition(s) surx ety cette ´egalit´e est v´erifi´ee.
(b) En d´eduire pour toutx∈h 0,π
2 h
une relation entre tan(x) et tan x
2
.
B Cas de l’angle moiti´ e
2. Soit nun nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 3.
(a) `A l’aide de la question pr´eliminaire, montrer quet2n est solution de l’´equation du second degr´e (enx) :
tnx2+ 2x−tn= 0.
(b) En d´eduire que pour toutn>3,t2n= −1 +p 1 +t2n tn
. 3. Exemples.
(a) Donner la valeur de tanπ 4
et en d´eduire celle de tanπ 8
. (b) Donner la valeur de tan
π 6
et en d´eduire celle de tan π
12
.
4. (a) Quelle est la r´eponse de Scilab `a l’ex´ecution des instructions suivantes ? t = 1
t = (-1 + sqrt(1+t^2))/t disp(t)
(b) En vous en inspirant, proposer une s´erie d’instructions qui calcule et affiche tan π
210
(on pourra utiliser une boucle for).
(c) Adapter ce programme pour qu’il calcule et affiche tan π
2N
, o`u N est un entier (sup´erieur `a 1) demand´e `a l’utilisateur via la fonctioninput.
C Une ´ equation
Soit n>3 un nombre entier impair. Soitω=ei2πn. 5. R´esultats pr´eliminaires.
(a) D´eterminer le nombre de solutions de l’´equation zn= 1 et montrer qu’il s’agit des nombres de la formeωk avec k∈J0, n−1K.
(b) Soit k∈J0,n−1K. Montrer que ωk−1
ωk+ 1=itan kπ
n
. 6. Soit maintenant (En) l’´equation (1−iz)n= (1 +iz)n.
(a) Montrer que−in’est pas solution de (En).
(b) Montrer quezest solution de (En) si et seulement s’il existek∈J0,n−1Ktel queiz(ωk+1) =ωk−1.
(c) En d´eduire que les solution de (En) sont les nombres tan kπ
n
, pour k∈J0,n−1K.
(d) En remarquant que toutes ces solutions sont r´eelles, montrer quez∈Cest solution de (En) si et seulement si (1 +iz)n∈R.
(e) En d´eduire quez est solution de (En) si et seulement si :
z= 0 ou
n−1 2
X
k=0
n 2k+ 1
(−1)kz2k = 0.
D Un cas particulier
Dans cette partie, on s’int´eresse au cas o`u n= 5.
7. `A l’aide de la question 6e (´eventuellement admise), montrer que les solutions non nulles de l’´equation (E5) sont les solutions de z4−10z2+ 5 = 0.
8. D´eterminer toutes les solutions de l’´equation z4−10z2+ 5 = 0.
9. En d´eduire les 5 solutions r´eelles de (E5) et la valeur de tan π
5
. 10. Apr`es avoir calcul´e (−1 +√
5)2, montrer que tanπ 10
= s
1−2√ 5 5 .
