ECS 1
Lyc´ ee H´ el` ene Boucher
Concours blanc mars 2021
Epreuve de math´ ´ ematiques n o 2
Jeudi 11 mars 2021
Dur´ee : 4 heures
Le sujet comporte 4 pages dont cette page de garde.
Les calculatrices et toute documentation sont interdites.
Si un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Les diff´erents probl`emes sont ind´ependants et pourront ˆetre abord´es dans l’ordre souhait´e.
Les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et les r´esultats encadr´es.
La pr´esentation et la r´edaction entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.
Probl`eme 1
Soit n ∈ N∗. L’objet de ce probl`eme est l’´etude des matrices orthogonales. Dans tout le probl`eme, In d´esigne la matrice identit´e de taillenet 0nla matrice colonne
0 0 ... 0
∈ Mn,1(R).
D´efinition 1
Soit M ∈ Mn(R). On dit que la matrice M est orthogonalelorsquetM M =MtM =In. On notera traditionnellement On(R) l’ensemble des matrices orthogonales de taille n∈N∗
A G´ en´ eralit´ es
1. Une question d’analyse.
(a) Soit x∈]−1,1[. Montrer que l’´equation cost=x admet exactement deux solutionst1 ett2 dans ]0,2π[ et donner une relation entret1 ett2.
(b) Soit x,y∈[−1,1] tels que x2+y2 = 1. Montrer qu’il existe un unique t∈[0,2π[ tel que cost=x et sint=y.Si besoin ce r´esultat pourra ˆetre admis pour une utilisation ult´erieure.
2. Soit A,B∈ Mn(R). Montrer quet(AB) =tBtA.
3. Soit A,B∈ Mn(R) que l’on suppose inversibles.
(a) Montrer quetAest inversible et donner (tA)−1.
(b) Montrer queAB est inversible et que (AB)−1=B−1A−1. (c) Montrer que si AetB commutent, alorsA−1 etB commutent.
4. Soit M ∈ Mn(R). Montrer que sitM M =In, alorsM est orthogonale.
5. Soit M ∈ On(R). Montrer queM est inversible et donner son inverse. A-t-onM−1 ∈ On(R) ? 6. Soit A,B∈ On(R).
(a) A-t-on n´ecessairement A+B ∈ On(R) ? Justifier.
(b) A-t-on n´ecessairement AB∈ On(R) ? Justifier.
B Matrices orthogonales de taille 2
Soit M = a b
c d
une matrice de M2(R) que l’on suppose de plus orthogonale.
7. Montrer quea2+b2 =c2+d2= 1, a2+c2 =b2+d2 = 1 etac+bd= 0.
8. Supposons dans cette question que a = 0. En d´eduire que b = ±1 puis que M est une des quatre matrices suivantes :
0 1 1 0
,
0 1
−1 0
,
0 −1
1 0
,
0 −1
−1 0
. 9. Supposons maintenant quea6= 0.
(a) Justifier qu’il existet∈[0,2π[\nπ 2,−π
2 o
tel quea= costet c= sint.
(b) En d´eduire queM est une des deux matrices suivantes :
cost sint sint −cost
,
cost −sint sint cost
. 10. Conclusion : donner toutes les matrices de O2(R).
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C Matrices orthogonales particuli` eres
Soit M = (mij)16i,j6n∈ Mn(R).
11. Supposons M orthogonale.
(a) Montrer que pour touti∈J1,nK,
n
X
k=1
m2ik = 1.
(b) En d´eduire que∀(i,j)∈J1,nK2,|mij|61.
12. On s’int´eresse au cas o`u tous les coefficients deM sont des nombres entiers.
(a) Montrer que siM est orthogonale, alors elle comporte exactement un coefficient non nul par ligne et par colonne et que ce coefficient vaut +1 ou−1.
(b) R´eciproquement, si M est telle que chaque ligne et chaque colonne comporte exactement un coefficient non nul ´egal `a +1 ou −1, calculer les coefficients de MtM.
(c) Donner un exemple de telle matrice orthogonale de taille 4 qui ne soit pasI4.
D Construction de matrices orthogonales
13. Un exemple : soitB =
0 −1 1
1 0 2
−1 −2 0
.
(a) Par la m´ethode de votre choix, montrer que la matrice I3+B est inversible et d´eterminer son inverse.
(b) Calculer M = (I3−B)(I3+B)−1.
(c) V´erifier que M est une matrice orthogonale.
Avant d’´etablir une g´en´eralisation, montrons un r´esultat pratique.
14. SoitY =
y1
y2 ... yn
∈ Mn,1(R). On noteϕ(Y) =tY Y et on identifie ici la matrice tY Y, de taille 1×1, et le nombre r´eel qu’est son unique coefficient. Montrer que ϕ(Y)>0 et queϕ(Y) = 0⇔Y = 0n. 15. G´en´eralisation : soit A = (aij)16i,j6n ∈ Mn(R) une matrice antisym´etrique, c’est-`a-dire telle que
tA=−A.
Soit (S) le syst`eme lin´eaire homog`ene dont In+A est la matrice ; on repr´esente une solution de ce syst`eme par une matrice X∈ Mn,1(R) telle que (In+A)X= 0n.
(a) Montrer quetAAX =−X.
(b) Montrer queϕ(AX) =−ϕ(X) et en d´eduire que X= 0n. (c) D´eduire des questions pr´ec´edentes que In+A est inversible.
(d) Justifier queIn−A est inversible.
16. On poseM = (In−A)(In+A)−1.
(a) Montrer quetM = (In−A)−1(In+A).
(b) Montrer queM est orthogonale.(on pourra repenser aux g´en´eralit´es, notamment la question 3c)
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Probl`eme 2
Soitn>2. Je joue au jeu suivant, qu’on peut supposer mod´elis´e par un espace probabilis´e fini (Ω,P(Ω),P).
Je tire tout d’abord une boule au hasard dans une urne qui contient des boules num´erot´ees de 1 `an, en nombre ´egal au num´ero correspondant. Ainsi elle contient une boule num´erot´ee 1, deux boules num´erot´ees 2, et ainsi de suite jusqu’`a nboules num´erot´ees n.
On appelle X la variable al´eatoire du num´ero de la boule tir´ee.
Si j’ai tir´e la boule num´ero 1, le jeu s’arrˆete et je ne gagne rien. Si j’ai tir´e une boule num´erot´eek>2, je lance ensuite un d´e ´equilibr´e `a k faces. Le num´ero obtenu ´etant not´e j, je gagnej−1 euros.
On appelle Gla variable al´eatoire de la somme remport´ee.
1. (a) Combien l’urne contient-elle de boules ? (b) Donner la loi de X.
2. Soit k∈J1,nKetg∈J0, n−1K. D´eterminer P[X=k](G=g).
3. En d´eduire que pour toutg∈J0, n−1K,P(G=g) = 2(n−g) n(n+ 1).
4. Je n’ai rien gagn´e. Quelle est la probabilit´e que j’aie tir´e la boule num´ero 2 ? 5. D´eterminer l’esp´erance et la variance deG.
On suppose dor´enavant que n = 9. Soit N ∈ N∗. Je joue 2N fois de suite `a ce jeu (de mani`ere ind´ependante ; notamment la boule tir´ee est remise pour chaque nouvelle partie). SoitY la variable al´eatoire du nombre de fois o`u je n’ai rien gagn´e.
6. (a) D´eterminer la loi de Y et donner (sans d´emonstration) son esp´erance et sa variance.
(b) En d´eduire la probabilit´e que j’aie gagn´e au moins 1 euro `a l’issue des 2N parties.
(c) D´eterminer le plus petit nombre de parties tel que cette probabilit´e soit sup´erieure `a 99/100.
7. Soit k∈J1,2NKeti∈J1, N −1K. On d´efinit les ´ev´enements :
• Ak :Je gagne 0 euro `a la k-i`eme partie.
• Bi :La premi`ere partie o`u j’ai un gain non nul est la (2i−1)-i`eme partie.
• B :La premi`ere partie o`u j’ai un gain non nul est une partie impaire.(ce qu’on appelle une partie impaire c’est la premi`ere ou la troisi`eme ou la cinqui`eme, etc.)
(a) D´ecrire l’´ev´enementBi en fonction desAk.
(b) D´ecrire l’´ev´enementB en fonction de A1 et des Bi. (c) En d´eduire la probabilit´e de B.
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